Restklassen: Wie rechnet man 11111 mod 37 "elegant"?

25.01.2006, 18:28

ndee

Restklassen: Wie rechnet man 11111 mod 37 "elegant"?

Hallo zusammen,
wir haben momentan gerade das Thema "Restklassen" und müssen dazu auch Aufgaben lösen. Nun, die eine Aufgabe ist 11111 mod 37. Gibt es hier einen "Trick" anstatt einfach nur 11111 durch 37 zu teilen? Also irgendwie, 111111 ist in derselben Restklasse wie XXX und dann kann man anstatt 11111, auch einfach diese kleinere Zahl nehmen zum teilen?

Ich hoffe das ganze macht ein bisschen Sinn smile

Danke schon im Voraus für jede Hilfe smile

25.01.2006, 18:44

JochenX

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RE: Restklassen: Wie rechnet man 11111 mod 37 "elegant"?

Zitat:

Original von ndee
Hallo zusammen,
wir haben momentan gerade das Thema "Restklassen" und müssen dazu auch Aufgaben lösen. Nun, die eine Aufgabe ist 11111 mod 37. Gibt es hier einen "Trick" anstatt einfach nur 11111 durch 37 zu teilen?

was dir eine nutzlose kommazahl geben würde, wenn du es per TR machen würdest Augenzwinkern

Zitat:

Also irgendwie, 111111 ist in derselben Restklasse wie XXX und dann kann man anstatt 11111, auch einfach diese kleinere Zahl nehmen zum teilen?

ja, 11111 ist in der restklasse $\begin{eqnarray*} \overline{11111} \end{eqnarray*}$

naja, alle zahlen m,n für die m=n+37*z (für ein z aus Z ist) liegen in der gleichen restklasse

also einfach mal ein 37vielfaches von 11111 abziehen, z.b. zunächst mal 7400, das ist die, die mir spontan einfällt

25.01.2006, 18:46

ndee

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hm, wir haben noch die Aufgabe: 123456789 mod 218

Deswegen denke ich dasses irgendiwe nen "Trick" gibt, hoffe ich zumindest Augenzwinkern

25.01.2006, 18:57

JochenX

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wie gesagt, was du tun kannst:
vielfache von 218 abziehen, also z.b. zunächst mal 5*218*10.....00, kA, wieviel nullen das sein müsse

die restklasse mod 218 bleibt dabei ehalten

26.01.2006, 01:01

Ace Piet

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RE: Restklassen: Wie rechnet man 11111 mod 37 "elegant"?
> elegant

Aprops Trick: Mir ist $\begin{eqnarray*} 111 = 3 * 37 \end{eqnarray*}$ aufgefallen. Damit kann man die 3 "linken" 1-en von 11111 faktorisieren und aus 11111 = 111*100 + 11 folgt...

26.01.2006, 03:26

Ace Piet

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RE: Restklassen: Wie rechnet man 11111 mod 37 "elegant"?
Die Idee bei 11111 brachte mich auf ff. Idee...

Ich breche eine lange Zahl durch und lande in der gleichen Äquivalenzklasse wenn ich Vielfache von 218 weglasse.

123456789
= 1234*100000 + 56789
= (5 * 218 + 144)* 100000 + 56789

$\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 144* 100000 + 56789
= 144* (4*218 + 128) * 100 + 567*100 + 89
= 144* (4*218 + 128) * 100 + (2*218 + 131)* 100 +89

$\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 144* 128* 100 + 131* 100 +89
= 1440 *1280 + 1310 *10 +89
= (6*218 + 132)* (5*218 + 190) + (6*218 + 2) *10 +89

$\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 132 *190 + 20 +89
= 1320 *19 + 109
= (6*218 + 12)*19 +109

$\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 12* 19 +109
= 12* (20-1) + 109
= 240 -12 + 109
= (218 +22) -12 +109
= 218 +119

$\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 119

d.h.: 123456789 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [119]
bzw. 123456789 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 119 mod 218

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