Abstand Punkt - Ebene

25.01.2006, 18:48	leon_K	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Punkt - Ebene Guten abend, Welchen Punkte auf $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ haben von $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ den Abstand 1: $\begin{eqnarray} g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \text{ und } e: \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} - 3 = 0 \end{eqnarray}$ Irgendwie komm ich mit der Aufgabe nicht klar, ich find einfach keinen Ansatz? Den Abstand berechnet sich ja wie folgt: $\begin{eqnarray} d(P,e) = \|\vec{n}^0 \cdot \vec{p} -d\| \end{eqnarray}$ . Einen Normal Vektor hab ich ja in der Ebenegleichung: $\begin{eqnarray} \|\vec{n}\| = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2 + (2)^2} = \ \end{eqnarray}$
25.01.2006, 18:52	leon_K	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} .... \sqrt{9} = 3 \\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{p} - 1\| \end{eqnarray}$
25.01.2006, 18:55	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein hat ein Punkt auf g die Form $\begin{eqnarray} P\bigg(3-\lambda \bigg\|1+3\lambda\bigg\|-1+4\lambda\bigg) \end{eqnarray}$ Deine untere Schreibweise kenne ich nicht, aber allgemein kannst Du deinen Punkt in den HNF-Operator einsetzen (dafür musst Du einfach die Koordinatengleichung der Ebene e kennen). Wo hängst Du denn genau?
25.01.2006, 19:02	leon_K	Auf diesen Beitrag antworten »
Ui, das ging mal schnell. Ja, es hängt einfach daran, dass ich keinen Ansatz zum lösen finde. Was ist ein HNF-Operator? Ich tippe es hat irgendetwas mit der Hess. Normalglg. zu tun? Naja, ich könnte ja ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ durch die Geradengleichung laufen lassen und so lange probieren, bis irgendwann mal ein Punkt den Abstand 1 hat, aber das ist wahrscheinlich quatsch und nicht sehr ökonomisch oO
26.01.2006, 21:30	SvenWeichel	Auf diesen Beitrag antworten »
re: hmmm ist eigentlich gar net mal so schwer ... $\begin{eqnarray} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e: \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} - 3 = 0 \text{ , } d(P,e) = 1 \end{eqnarray}$ so wie schon gesagt rechnest du den Abstand wie folgt aus: $\begin{eqnarray} d(P,e) = \left\| \vec{n}^0 \cdot \vec{p} - d \right\| \end{eqnarray}$ . Was dir fehlt ist $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ könntest du die GLeichung der Geraden einsetzen $\begin{eqnarray} d(P,e) = \left\| \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\right) - 1 \right \| = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d(P,e) = \left\| \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \right) -1 \right\| = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d(P,e) = \left\| -1 + \lambda \cdot ( \frac{1}{3} + 2 + \frac{8}{3} ) -1 \right\| = 1 \Rightarrow \left\| 5 \lambda - 2 \right\| = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{3}{5} \text{ und } \lambda =-\frac{1}{5} \end{eqnarray}$ Nun musst du halt noch $\begin{eqnarray} \lambda_1 \text{ und } \lambda_2 \end{eqnarray}$ in die Geradengleichung einsetzen, dann haste die Punkte. Bin mir nicht sicher ob das so stimmt, habs nicht nachgeprüft, kannste aber dann ja selbst machen, aber das prinzip dürft wohl nun klar sein. Gruß Sven
26.01.2006, 21:42	SvenWeichel	Auf diesen Beitrag antworten »
re oehmm... $\begin{eqnarray} - \frac{1}{5} \end{eqnarray}$ ist falsch .. kommt nich als Abstand 1 raus, kann mir jetzt aber nicht erklären wieso ... vllt. weiss es ja ein anderer.
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