Grenzwert bestimmen

25.01.2006, 19:34	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen Hi... ich habe eine Funktion f(x) = n(n+1)x - n für $\begin{eqnarray} x \in [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}), n=1,2,... \end{eqnarray}$ Ich soll jetzt den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to +0} f(x) \end{eqnarray}$ bestimmen und sagen ob er überhaupt existiert... dazu ein paar Fragen: heißt Grenzwert gegen +0, dass ich mich von rechts an die Null annähere oder spielt das keine Rolle? jedenfalls hatten wir in der Vorlesung gezeigt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to a} f(x) = y \leftrightarrow \end{eqnarray}$ für jede Folge $\begin{eqnarray} \{ x_n \} \in M : \lim_{n \to \infty} \{x_n \} = a \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} f(x_n) = y \end{eqnarray}$ das Problem ist, wie zeige ich, dass das für jede Folge gilt? ich hab mir jetzt erstmal eine Folge genommen: $\begin{eqnarray} x_b = \frac{1}{b} \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} \lim_{b \to \infty} f(x_b) = \lim_{b \to \infty} \frac{n(n+1)}{b} - n = -n \end{eqnarray}$ das wäre jetzt erstmal mein Grenzwert - aber 1. wie zeige ich, dass er wirklich existiert? und 2. wie zeige ich, dass das wirklich für jede Folge so ist? oder: gibt es einen anderen Weg um an die Aufgabe ranzugehen???
25.01.2006, 19:38	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist nicht fest, also kann $\begin{eqnarray} -n \end{eqnarray}$ sicher nicht der Grenzwert sein! Bei solchen Aufgaben ist es immer am besten, sich die Funktion zunächst aufzuzeichnen! Dann siehst du vielleicht auch, dass du eher beweisen solltest, dass der Grenzwert nicht existiert. Gruß MSS
25.01.2006, 19:45	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
heißt das, dass bei der Funktion n gegen unendlich läuft und x gegen 0 ? ich hätte jetzt gedacht, dass man sich n als natürliche Zahl vorgibt...
25.01.2006, 19:49	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Oben steht doch $\begin{eqnarray} n=1,2,\ldots \end{eqnarray}$ . Vielleicht sollte ich es mehr als Beispiel machen. Deine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ bedeutet: $\begin{eqnarray} f(x)=1\cdot 2\cdot x-1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in \left[\frac{1}{2},1\right) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ bedeutet: $\begin{eqnarray} f(x)=2\cdot 3\cdot x-2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in \left[\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ bedeutet: $\begin{eqnarray} f(x)=3\cdot 4\cdot x-3 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in \left[\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray}$ . Usw. Gruß MSS
25.01.2006, 19:55	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe also eine Folge von Funktionen richtig? und was passiert eigentlich, wenn n gegen unendlich läuft dann ist sie doch nur noch definiert für $\begin{eqnarray} x \in [0,0) \end{eqnarray}$ und ich wollte schon immer mal wissen - heißt, dass das x 0 sein kann oder nicht?! demnach wäre sie für n gegen unendlich dann gar nicht definiert, oder? also hätte sie auch keinen Grenzwert...
25.01.2006, 20:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Guck dir mal die Definition des Grenzwertes an! Und dann denke nochmal über deine Aussage nach. Gruß MSS
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