Trigonometrischen Gleichung....

25.01.2006, 20:21	conni123	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrischen Gleichung.... Also, ich hab hier ne Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme.... vielleicht weiß ja jmd von euch weiter.: Drücken sie $\begin{eqnarray} sin^6x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} sin kx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} cos kx \end{eqnarray}$ aus.
25.01.2006, 20:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind dir komplexe Zahlen vertraut? Da gibt es einen schönen geradlinigen Weg zur Lösung.
25.01.2006, 21:18	conni123	Auf diesen Beitrag antworten »
ja eigentlich schon .... du meinst mit $\begin{eqnarray} sinx=Im(e^j) \end{eqnarray}$ ???? Ja die Lösung hab ich glaub ich auch schonmal gesehen... wir sollen es leider mit den herkömmlichen Additionstheoremen usw. Lösen.
25.01.2006, 21:56	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexer Weg: Es ist $\begin{eqnarray} \sin(x) = -i\sinh(ix) = -\frac{i}{2} \left( e^{ix}-e^{-ix} \right) \end{eqnarray}$ Das jetzt zur sechsten Potenz erheben, ausmultiplizieren und Potenzgesetze nutzen, und dann rückwärts die Terme unter Nutzung von $\begin{eqnarray} e^{ikx}+e^{-ikx} = 2\cos(kx) \end{eqnarray}$ wieder zusammenfassen. Reeller Weg, mit Additionstheoremen: Es ist $\begin{eqnarray} \cos(2t) &=& 2\cos^2(t)-1 = 1-2\sin^2(t)\\ \cos(3t) &=& \cos(t)\cos(2t)-\sin(t)\sin(2t) = 4\cos^3(t)-3\cos(t) \end{eqnarray}$ Das eingesetzt für $\begin{eqnarray} t=x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} t=2x \end{eqnarray}$ und passend eingesetzt kommst du auch zum Ziel. Ist aber nicht so geradlinig und klar wie der kompexe Weg oben.
25.01.2006, 22:08	conni123	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh es gibt zusammenhänge zwischen den Hyperbolischen Funktionen und den normalen Winkefunktionen???? Das wusste ich garnicht... Ich glaub ich sollte mich mal noch etwas mit dem Thema beschäftigen, bevor ich sowas löse. Hast du ne Idee, wo man sowas gut nachlesen kann?? Bücher o.ä?

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