zusammenfassen

25.01.2006, 20:45

rain

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zusammenfassen

hey,
ich hab ne frage und zwar wie kann ich diesen term geschickt zusammenfassen: $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}-1)\cdot (\frac{1}{2}-2) \cdot (\frac{1}{2}-3) \cdot ...\cdot (\frac{1}{2}-n+1) \end{eqnarray*}$
hoffe es versteht jeder was ich meine..
mfg,rain

edit (AD): Ich Trottel hatte versehentlich deinen Beitrag gelöscht. Hoffentlich habe ich ihn hiermit wieder richtig restauriert. Hammer

Hammer

25.01.2006, 20:59

AD

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Na z.B. $\begin{eqnarray*} {-\frac{1}{2} \choose n-1}\cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$ , aber das hast du vielleicht nicht gemeint. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mit Fakultäten geht es aber auch.

25.01.2006, 21:03

rain

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okay,das würde schon gehen,aber wie komme ich denn aufsowas?
lernt man das an der uni?
des ist doch schon mit fakultät.oder wie gehts noch anders?

mfg,rain

edit:ok,verstehe ich nicht,egal.
aber wie kommt man denn überhaupt auf sowas und wo lernt man des,würde mich mal interessieren?

25.01.2006, 21:14

AD

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Mit Fakultät meinte ich eigentlich diese Variante der Zusammenfassung:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2}-1\right)\cdot \left(\frac{1}{2}-2\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{1}{2}-n+1\right) &=& \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}\cdot 1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2n-3) = \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} \cdot \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2n-2)}{2\cdot 4\cdot \ldots (2n-2)}\\ &=& \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} \cdot \frac{(2n-2)!}{2^{n-1}(n-1)!} = \frac{(-1)^{n-1}}{2^{2n-2}} \cdot \frac{(2n-2)!}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

25.01.2006, 21:39

-felix-

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} \cdot \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2n-2)}{2\cdot 4\cdot \ldots (2n-2)} \end{eqnarray*}$

Du meinst im Zähler doch sicherlich $\begin{eqnarray*} (2n-3) \end{eqnarray*}$ , oder? Und im Nenner müsste es doch dann eigentlich auch nur bis $\begin{eqnarray*} (2n-4) \end{eqnarray*}$ gehen.

@raindrop: Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2}-1\right)=\frac{1}{2}(1-2) \end{eqnarray*}$ . Wenn du die Klammern mit diesem Schema auflöst, kommst du auf Arthurs erste Umformung.

25.01.2006, 21:58

AD

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Zitat:

Original von -felix-
Du meinst im Zähler doch sicherlich $\begin{eqnarray*} (2n-3) \end{eqnarray*}$ , oder? Und im Nenner müsste es doch dann eigentlich auch nur bis $\begin{eqnarray*} (2n-4) \end{eqnarray*}$ gehen.

So geht's auch. Aber wenn man wie ich nun in Zähler UND Nenner gleichzeitig ein $\begin{eqnarray*} (2n-2) \end{eqnarray*}$ noch mit reinnimmt, ist es auch nicht verkehrt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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25.01.2006, 22:00

-felix-

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Stimmt. Da war ein Brett vorm Kopf. Danke fürs wegmachen.

25.01.2006, 22:06

rain

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ok,was noch n bissle hakt ist,wie man von $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 3\cdot ... \cdot (2n-3) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n-2)}{2 \cdot 4 \cdot ..\cdot (2n-2)} \end{eqnarray*}$ komme...

25.01.2006, 22:09

-felix-

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$\begin{eqnarray*} 1\cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-3) = \frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-3) \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (2n-4)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (2n-4)} \end{eqnarray*}$
Ist das klar?

25.01.2006, 22:12

rain

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ja,ich glaube schon.danke!
kann man aus $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 3 \cdot 5 .. \cdot (2n-3) \end{eqnarray*}$ eignetlich $\begin{eqnarray*} (2n-3)! \end{eqnarray*}$ machen??

25.01.2006, 22:16

-felix-

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Nein. Die Fakultät ist so definiert:
$\begin{eqnarray*} n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots n \quad \text{und } 0! = 1 \end{eqnarray*}$

Geht übrigens auch rekursiv: $\begin{eqnarray*} n! = (n-1)! \cdot n; \; 0! = 1 \end{eqnarray*}$

25.01.2006, 22:19

rain

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aso.stimmt,wie komme ich aber auf $\begin{eqnarray*} (2n-2) \end{eqnarray*}$ .
des verstehe ich noch nicht so genau.. verwirrt

verwirrt

25.01.2006, 22:29

-felix-

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okay:
$\begin{eqnarray*} \frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-3) \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (2n-4)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (2n-4)} = \frac{1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot(2n-3)}{2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot(2n-4)}= \frac{1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot(2n-3)\cdot(2n-2)}{2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot(2n-4)\cdot(2n-2)} \end{eqnarray*}$

25.01.2006, 22:32

rain

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bis zur letzten umformung hab ich es gerafft,aber was passiert danach genau mit dem $\begin{eqnarray*} (2n-3) \end{eqnarray*}$ und dem $\begin{eqnarray*} (2n-4) \end{eqnarray*}$ ??

25.01.2006, 22:36

-felix-

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die bleiben stehen. ich erweitere den ganzen bruch einfach mit $\begin{eqnarray*} (2n-2) \end{eqnarray*}$ .

25.01.2006, 22:39

rain

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} ...= \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} \cdot \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2n-2)}{2\cdot 4\cdot \ldots (2n-2)} \end{eqnarray*}$

wo sind sie dann hier?

25.01.2006, 22:40

AD

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Nach all den Formeln vielleicht mal eine verbale Erklärung, warum und wieso man was macht:

Wir haben das Produkt aller ungeraden Zahlen bis einschließlich $\begin{eqnarray*} (2n-3) \end{eqnarray*}$ vorliegen. Mit Fakultät lässt sich das nicht unmittelbar darstellen, da $\begin{eqnarray*} (2n-3)! \end{eqnarray*}$ das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis einschließlich $\begin{eqnarray*} (2n-3) \end{eqnarray*}$ ist. Aber man kann es ja als Ausgangsbasis nehmen, wenn man alle geraden Faktoren wieder rauswirft - und das geschieht im Nenner.

Was ist denn nun am Produkt der geraden Zahlen günstiger als an dem der ungeraden Zahlen? Nun, wir können da jeweils Faktor 2 aus jeder dieser geraden Zahlen herausziehen, dann bleibt noch eine "normale" Fakultät übrig - bei den ungeraden Zahlen klappt dieser Trick direkt nicht.

25.01.2006, 22:44

rain

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ach,ich verstehe es nicht.
egal,danke an alle fürs bemühen..

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