Funktion dessen n-te Ableitung größer ist als (n!)² |
21.05.2008, 15:09 | _Maxi_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Funktion dessen n-te Ableitung größer ist als (n!)² ich bin auf der Suche nach Funktionen, dessen n-te Ableitung an der Stelle 0, größer ist als (n!)². Mir ist klar dass die funktion unendlich oft differenzierbar sein muss, und die Ableitung stetig steigen muss. Mir fällt aber nicht ein wie ich das machen soll, dass die unendliche Ableitung einer funktion schneller steigt als (n!)². Bin für jeden Tipp dankbar! Euer Max |
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21.05.2008, 15:28 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist n im Funktionsterm erlaubt? Wie wärs dann mit Es ist |
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21.05.2008, 15:37 | _Maxi_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ein n im exponenten ist leider nicht erlaubt, da sich die funktion mit jeder Ableitung "verändern" müsste, aber schonmal eine sehr gute idee *daumen hoch* ps: Betragsmässig grösser reicht aus Ich grübel dann mal weiter Grüße ... Maxi |
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21.05.2008, 15:38 | _Maxi_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wobei, tmo! Vielleicht haut das ja so hin Danke nochmals, ich probiere jetzt mal rum |
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21.05.2008, 17:15 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke mal, das ist eher so gemeint, dass für ein festes diese Aussage für jedes gelten soll. Fakt ist schon mal, dass die zu so einem gehörende Taylorreihe im Nullpunkt als Potenzreihe den Konvergenzradius Null aufweisen würde. Das sollte schon mal nachdenklich stimmen. |
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21.05.2008, 17:27 | _Maxi_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Arthur, danke für deinen Tipp! Habe aber einwenig herumprobiert und bin auf folgende funktion gestoßen. die Werte der ableitungen an der Stelle 0 wachsen doch viel schneller als (n!)² Aber mal ne andere Frage, könntest du mir genauer erklären wieso der konvergenzradius 0 wäre? Grüße Maxi |
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21.05.2008, 18:34 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir nehmen ja an, dass die Funktion im Nullpunkt beliebig oft differenzierbar sein soll, ansonsten kann man ja nicht über all diese Ableitungswerte reden. Also ist die Taylorreihe von f im Nullpunkt gleich , wobei . Aus der Voraussetzung folgt dann aber und gemäß Cauchy-Hadamard dann der Konvergenzradius dieser Taylor-Potenzreihe. P.S.: Ich will damit eigentlich nur sagen, dass eine solche Funktion - falls sie existiert - nicht lokal im Nullpunkt durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann. Ob sie existiert, weiß ich momentan nicht - bin bei den ausgefallenen Beispielen der Analysis nicht so fit. Auf alle Fälle zeigen die Betrachtungen über die Taylorreihe, dass ein evtl. existierendes Beispiel zu der angesprochenen "ausgefallenen" Sorte zählen muss, also keine gewöhnliche Wald- und Wiesenfunktion wie dein Arcustangensbeispiel sein kann. |
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21.05.2008, 19:01 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe letztens in der Vorlesung gehört, dass E. Borel bewiesen hat, dass für jede Folge eine Funktion existiert, deren -te Ableitung im Nullpunkt gerade ist. Ich hab leider keine Ahnung, wie der Beweis funktioniert, finde die Aussage aber sehr interessant. |
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22.05.2008, 15:12 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktion dessen n-te Ableitung größer ist als (n!)²
Tschuldigung, aber ich kanns mir nicht verkneifen: Erstens heißt es "deren" und nicht "dessen", und zweitens kannst du das zweite Komma knicken. |
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