Laurentreihe - Hauptteil bestimmen

25.01.2006, 20:47	pfnuesel	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihe - Hauptteil bestimmen Hallo Habe da so meine Probleme mit der Laurentreihe. Gegeben: $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1}{e^{z}-1} \end{eqnarray}$ Klar, bei $\begin{eqnarray} f(0) \end{eqnarray}$ haben wir einen Pol 1. Ordnung. Nun soll noch der Hauptteil der Laurentreihe bestimmt werden. Laurentreihe: $\begin{eqnarray} \sum_{k<0}a_{k}(z-z_{0}) \end{eqnarray}$ Da es sich um einen Pol 1. Ordnung handelt, verschwindet die Laurentreihe ab $\begin{eqnarray} a_{-2} \end{eqnarray}$ abwärts, es bleibt also nur noch: $\begin{eqnarray} a_{-1}z \end{eqnarray}$ Aber wie bestimme ich $\begin{eqnarray} a_{-1} \end{eqnarray}$ ? Vielen Dank für eure Hilfe!
26.01.2006, 07:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \operatorname{e}^z - 1 = \sum_{\nu=1}^{\infty}~\frac{z^{\nu}}{\nu!} = z \cdot g(z) \ \ \text{mit} \ \ g(z) = 1 + \sum_{\nu=1}^{\infty}~\frac{z^{\nu}}{(\nu + 1)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(z) \end{eqnarray}$ ist holomorph bei $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ mit Wert $\begin{eqnarray} g(0) = 1 \end{eqnarray}$ . Also ist auch $\begin{eqnarray} \frac{1}{g(z)} \end{eqnarray}$ holomorph mit Wert $\begin{eqnarray} g(0) = \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray}$ . Es existiert daher eine Potenzreihe $\begin{eqnarray} \frac{1}{g(z)} = 1 + \sum_{\nu = 1}^{\infty}~b_{\nu} z^{\nu} \end{eqnarray}$ mit gewissen Koeffizienten $\begin{eqnarray} b_{\nu} \end{eqnarray}$ , die man zur Lösung der Aufgabe aber gar nicht kennen muß: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\operatorname{e}^z - 1} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{g(z)} \end{eqnarray}$ Jetzt rechts die Potenzreihe einsetzen und ausmultiplizieren.
27.01.2006, 17:38	pfnuesel	Auf diesen Beitrag antworten »
Einmal mehr: Vielen Dank Leopold!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »