sqrt(m)=a/b ?

21.05.2008, 15:37

AntonBB

sqrt(m)=a/b ?

Gibt es ganze m, die nicht Quadratzahl sind, sodass $\begin{eqnarray*} \sqrt(m) \end{eqnarray*}$ rational ist?

Auf der Suche nach einem Beweis bin ich leider nicht fündig geworden. Danke.

21.05.2008, 15:38

AntonBB

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{m} \end{eqnarray*}$ meine ich +_+

21.05.2008, 15:46

tmo

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Nein. Für natürliche m ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{m} \end{eqnarray*}$ entweder auch natürlich oder irrational.

Das Quadrat einer rationalen, aber nicht ganzen Zahl, kann nämlich keine ganze Zahl sein.

21.05.2008, 15:59

Zizou66

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Du könntest auch versuchen das zu beweisen, indem du zeigst das Zahlen die mindestens eine Nachkommastelle haben doppelt so viel Nachkommastellen haben, wenn man sie quadriert.

Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 1,5^2=2,25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1,27^2=1,6129 \end{eqnarray*}$

usw.

21.05.2008, 16:11

AntonBB

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Danke, bin zufrieden!

21.05.2008, 16:58

Airblader

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Zitat:

Original von Zizou66
Du könntest auch versuchen das zu beweisen, indem du zeigst das Zahlen die mindestens eine Nachkommastelle haben doppelt so viel Nachkommastellen haben, wenn man sie quadriert.

Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 1,5^2=2,25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1,27^2=1,6129 \end{eqnarray*}$

usw.

Eine sehr gefährliche Aussage.

$\begin{eqnarray*} (0,\overline{3})^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} = 0,\overline{1} \end{eqnarray*}$

Du hast unendlich und unendlich Nachkommastellen.
Wenn du nun die Nachkommastellen jeweils in eine Menge fassen willst, bin ich mir doch ziemlich sicher, dass diese Mengen gleichmächtig sein werden.
Die Bijektion ist ja trivial.

air

21.05.2008, 17:05

Zizou66

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Hmm, stimmt Air. Da war ich dann wohl etwas vorschnell mit der Aussage. Ich könnte mir allerdings vorstellen, dass der Beweis ähnlich, wenn nicht sogar gleich aussieht^^ Ich versuchs mal zu beweisen.

21.05.2008, 17:08

Airblader

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Welcher Beweis verwirrt

air
P.S.: Für deine Signatur .. "\pi" ergibt $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Edit:
Momentan ergibt sich für mich auch nicht, was deine These für einen Sinn bei der zu widerlegenden Behauptung hat.

$\begin{eqnarray*} \exists m \in \mathbb N, m \neq n^2 ~\forall n \in \mathbb N \Rightarrow \sqrt{m} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

21.05.2008, 17:13

Zizou66

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Ein formeller Beweis dafür, dass es keinen Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{n}{m} \end{eqnarray*}$ gibt, bei dem n teilerfremd zu m ist, der Nachkommastellen hat, nach dem Quadrieren noch immer Nachkommastellen haben muss.
Allerdings bin ich nicht so der Beweiser und daher wird es wohl ein Gewurschtel^^

Zu meiner Signatur:
Wie mache ich dieses Pi? Ich habe ein paar Schreibweisen versucht, aber das schöne Zeichen kam leider nicht.

21.05.2008, 17:18

Airblader

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Ich verstehe leider noch immer nicht genau, was du nun beweisen willst. verwirrt

Zur Signatur:
Wie gesagt .. in LaTeX einfach "\pi" eingeben. Fahr doch mit der Maus mal hier drüber: $\begin{eqnarray*} e^{i\pi} + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ , dann siehst du, wie der Code aussieht.

21.05.2008, 17:53

Zizou66

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Ach ist auch nicht so wichtig, ist sowieso nur Spielerei.

Danke für den Tipp, so geschrieben hat die Formel direkt viel mehr Flair^^

21.05.2008, 17:55

Airblader

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Zitat:

Original von Zizou66
Ach ist auch nicht so wichtig, ist sowieso nur Spielerei.

Na und?

Naja gut, zwingen kann ich dich natürlich nicht. Sollte dich dennoch die Lust packen, schreib mir einfach 'ne PN Augenzwinkern

Im Übrigen finde ich, dass

$\begin{eqnarray*} e^{i\pi} + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

schöner aussieht als

$\begin{eqnarray*} e^{\pi \cdot i} + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Aber das kann Geschmackssache sein Augenzwinkern

air

21.05.2008, 17:59

Zizou66

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Oh ja, und das ist sogar vom Ansatz her korrekter, obwohl es natürlich nach dem Kommutativgesetzt egal ist, aber $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ soll ja eigentlich die Winkelgröße sein und $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ist ja immer im Exponent. Also ändere ich die Signatur nochmal.
Ja ich schreib dir dann demnächst mal ne Pn, wenn ich soweit bin, ich erklär dann nochmal, was ich genau meinte Augenzwinkern

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