E[X] und V[X] von 2er Gruppen

21.05.2008, 16:11

mariaeck

E[X] und V[X] von 2er Gruppen

Hallo,
bin gerade auf das Forum hier gestoßen und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

In einer Gruppe von n Personen sei jedes Individuum vom Typ A oder Typ B, jeweils mit p=1/2 und unabhängig voneinander. Man berechne den Erwartungswert und Varianz der Anzahl der Freundschaftsbeziehungen, wenn Freundschaften immer zwischen Personen gegensätzlichen Typs bestehen.

Ich gehe davon aus, dass es also n Menschen gibt wovon a vom Typ A sind und b=n-a sein muss. ab-Freundschaften gibt es dann $\begin{eqnarray*} ab=an-a^2 \end{eqnarray*}$ . Ich weiß aber nicht wie ich jetzt auf den Erwartungswert komme.

Gruß
Maria

21.05.2008, 16:27

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Ok, für die Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ der Freundschaftsbeziehungen hast du den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} X=na-a^2 \end{eqnarray*}$ aufgestellt, richtig. Wenn du jetzt noch berücksichtigst, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ binomialverteilt ist, und zwar $\begin{eqnarray*} a\sim B\left(n,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ (Begründung bitte mal selbst überlegen!), dann kannst du $\begin{eqnarray*} E(X) = n\cdot E(a) + E(a^2) \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Die Varianz von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ dann auch, wobei dies in etwas mehr Rechnerei ausarten wird. Augenzwinkern

21.05.2008, 17:56

mariaeck

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Ich war jetzt auf dem Weg es auf so auszurechen.

Y=Anzahl der Menschen vom Typ A. Y ist binomialverteilt. Das habe ich auch festgestellt. Big Laugh

$\begin{eqnarray*} E[X]=\sum_{k=0}^n~k(n-k)*P(Y=k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[X]=\sum_{k=0}^n~k(n-k)*\binom{n}{k}*(\frac{1}{2})^k*(\frac{1}{2})^{n-k} \end{eqnarray*}$

Geht das auch. Ich bin mir unsicher, weil ich deine Gedanken noch nicht so ganz nachvollziehen kann.

21.05.2008, 18:11

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So geht's auch. Ich dachte nur, es ist einfacher, den bereits bekannten Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ und das aus der Varianz der Binomialverteilung auch leicht herleitbare $\begin{eqnarray*} E(Y^2) \end{eqnarray*}$ direkt zu verwenden, statt sich mit den Summen rumzuplagen. Aber man kann durchaus auch den steinigen Weg gehen - muss man dann bei der Varianz sowieso machen. Augenzwinkern

21.05.2008, 22:45

mariaeck

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Hab jetzt den ganzen Abend herumexperimentiert und bekomme diese Summe nicht richtig aufgelöst.Wie mach ich das denn am Besten....Darf ich in so einer Summe z.B. auch folgendes Anwenden?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\binom{n}{k}=2^n \end{eqnarray*}$

21.05.2008, 22:52

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Zitat:

Original von mariaeck
Darf ich in so einer Summe z.B. auch folgendes Anwenden?

Wer soll es dir verbieten, wenn du es richtig begründest? Augenzwinkern

Komische Frage.

21.05.2008, 23:24

mariaeck

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Ich verstehe,dass es eine komische Frage für dich sein muss...

Bitte entschuldige meine geringen Rechenkünste traurig

Ich steh noch am Anfang und muss noch viel üben und lernen.

Ich wollte damit wissen, ob ich in Summen auch nur Teilglieder umformen darf.

Wenn das so ist....dann ran ans Werk.

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