folge

21.05.2008, 17:07

DerMeister01

folge

die aufgabe lautet prüfe auf konvergenz!
in der lösung dieser aufgabe steht divergent da keine nullfolge.
komme darauf irgendwie nich...

hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{n-10}{10n} \end{eqnarray*}$

danke

21.05.2008, 17:16

quarktasche

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$\begin{eqnarray*} \frac{n-10}{10n}= \frac{1}{10}- \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$

21.05.2008, 17:19

DerMeister01

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ja und nun?

21.05.2008, 17:21

DerMeister01

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ach...harmonische reihe, daher gegen unendlich, also divergent

richtig?

21.05.2008, 17:27

Jacques

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Hallo,

Notwendige Bedingung für die Konvergenz einer unendlichen Reihe ist es, dass die Folge der Summanden gegen 0 konvergiert.

Und das ist also nicht der Fall. Also kann die Reihe nur divergieren.

21.05.2008, 23:42

spirit87

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Zitat:

Original von quarktasche
$\begin{eqnarray*} \frac{n-10}{10n}= \frac{1}{10}- \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$

quarktasche hat einfach den Term vereinfacht um mit ein wenig kompfrechnen zu zeigen das die folge für n gegen unendlich auf den Grenzwert von 1/10 strebt

da für n gegen unendlich der rechte teil gegen 0 geht und damit von 1/10 immer weniger abgezogen wird

21.05.2008, 23:52

DerMeister01

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1/10?...ich dachte der grenzwert ist divergent?

22.05.2008, 00:34

spirit87

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also die Aufgabenstellung lautete

Prüfe die Folge auf konvergenz:

Die besagte Folge lautet $\begin{eqnarray*} \frac{n-10}{10n} \end{eqnarray*}$

Und nun zur Schrittweisen Vereinfachung von quarktasche Die Folge lässt sich nämlich auch so schreiben
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{10n} - \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{10}{10n} \end{eqnarray*}$

vereinfacht wäre dies
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} - \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Und wenn du nun für n unendlich ansetzten würdest würde für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ irgendwann das Ergebniss 0 herauskommen
Dass wiederum bedeutet, dass von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ bei n -> unendlich irgendwann nichtsmehr abgezogen wird die Folge strebt also gegen den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ und hat dort ihren Grenzwert und verlässt diesen auch nichtmehr.

Definition konvergenz:
Mathematik: Eigenschaft von Folgen, einem Grenzwert zuzustreben (zu konvergieren); spezielle Folgen sind die Reihen. Existiert kein solcher Grenzwert, so ist die Folge divergent.

Da unsere Folge aber einen Grenzwert hat und wichtig .. sich von diesem auch nichtmehr entfernt ist der Grenzwert 0,1 und amit ist die Folge konvergent und nicht divergent

edit:
Was ich aber nicht versteh was bedeutet das Zeichen bei deinem Anfangspost mit dem Unendlich und k=1 .. könnte sein ,dass ich dadurch etwas nicht beachte.
Bin einfach mal von typischen Folgen ausgegangen heisst n sind alle natürlichen Zahlen.

Ich verstehe auhc nicht wie man hier auf divergenz kommt ......

PS: also wenn ich das Zeichen da richtig verstehe bedeutet es, dass für n bis unendlich alles eingesetzt werden kann nur das k=1 verwirrt mich noch ... und was das Zeichen an sich bedeutet ....

22.05.2008, 00:43

Jacques

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Hallo DerMeister01,

Du bringst Folge und Reihe durcheinander.

Die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k = 1}^\infty \frac{n - 10}{10n} \end{eqnarray*}$

ist eine Summe, und zwar die Summe, deren Summanden genau die Glieder der Folge

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{n - 10}{10n} \right)_{n \in \mathbb{N}^{*}} \end{eqnarray*}$

sind.

Gefragt war danach, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Als Kriterium nimmt man folgenden Satz: Notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe ist, dass die Folge der Summanden gegen 0 konvergiert.

D. h. die Reihe kann überhaupt nur dann konvergieren, wenn die Folge der Summanden gegen 0 konvergiert. Das letzere ist nicht erfüllt (der Grenzwert ist 1/10), also konvergiert die Reihe nicht.

22.05.2008, 12:57

Q-fLaDeN

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@spirit:

Du bringst nämlich auch irgendwie limes und summe durcheinander.

Aus $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{n-10}{10n} \end{eqnarray*}$ wird

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{10}-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Wenn du das nun unendlich mal zusammenzählst, also

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{10}-\frac{1}{1})+(\frac{1}{10}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{10}-\frac{1}{3})+...+(\frac{1}{10}-\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

fällt wie gesagt das 1/n sozusagen weg, aber du zählst ja trotzdem immerwieder 1/10 dazu -> divergent.

Nochmal @spirit:
Wenn da stehen würde:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{10}-\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$

dann wäre der Grenzwert 1/10

PS: muss da anstatt k = 1 nicht eigentlich n = 1 stehen?

22.05.2008, 14:31

Jacques

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
PS: muss da anstatt k = 1 nicht eigentlich n = 1 stehen?

Stimmt!

22.05.2008, 17:03

spirit87

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@Q-fLaDeN

ich hab den limes nicht durcheinander gebracht .. ich habe an meinen post angehängt das ich das Zeichen das ich nach etwas suchen als Summenzeichen identifiziert habe nicht kenne

und dann ist mir auch klar, dass die folge gegen 0 streben muss um konvergent zu sein, da sonst ja immer etwas dazukommt ...
da der grenzwert der Folge aber 1/10 ist kommt min immer 1/10 dazu womit es mit dem Summenzeichen nicht konvergent sonder divergent ist...

Sorry für die Verwirrung habe normale Folge angenommen(hatte das Zeichen noch net) und danke aber auch für die Auflösung mit dem Zeichen

22.05.2008, 17:59

DerMeister01

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okay alles klar...

diese notwendige bedingung kannte ich bis jetzt nioch gar nicht. hatten irgendwie nur das quotienten, leibniz und majoranten-k.

vielen dank

gruß
dermeister

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