Uneigentliches Integral

26.01.2006, 12:10

Besucher

Uneigentliches Integral

Hi,
ich bin in der 12. Klasse und soll ein Referat über die analytische Definition des Bognmaßes und sin t und cos t halten.

Hab dazu ein Uni-Buch von meinem Lehrer bekommen und eine Frage zu einem Integral.

Es geht um $\begin{eqnarray*} L(\widehat{P_0P_x}) = \int_{0}^{x}~\frac{d \xi}{\sqrt{1-\xi^2}}, \ \ x \in[0;1) \end{eqnarray*}$

Jtzt steht da, dass das uneigentliche Integral für x --> 1 konvergiert, da auf [0;1) gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1-\xi^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{1-\xi}} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{d \xi}{\sqrt{1-\xi^2}} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Wie kommt man nun auf diese konvergenz?
Ich habe jetzt die Ungleichung genommen und folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1-\xi^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{1-\xi}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{1-\xi}}{\sqrt{1-\xi^2}} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Da jetzt x --> 1, bzw $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ --> 1 gehen soll habe ich jetzt l'hopital angewandt und komme dann auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{\xi \to 1} \frac{\sqrt{1-\xi}}{\sqrt{1-\xi^2}} = 0 \leq 1 \end{eqnarray*}$

Also würde die erweiterte Fkt so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \hat{f}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{1-\xi^2}}, \ \ x \in[0;1) \end{eqnarray*}$
bzw. 0 für x = 1 (kann die fallunterscheidung leider nicht in latex eingeben...)

Dann kann ich $\begin{eqnarray*} \hat{L}(\widehat{P_0P_x}) \end{eqnarray*}$ auf [0;1] integrieren wobei die Stammfkt ja $\begin{eqnarray*} \sin^{-1} x \end{eqnarray*}$ wäre.

Kann ich das so rechnen oder ist das komplett falsch?
Oder wäre der Nachweis der Konvergenz nur für die Stetigkeit wichtig?
Dann soll ich es nämlich nicht machen...

Schon mal vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!

26.01.2006, 13:27

Besucher

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Bogenmaß
Hi,
eben ist mir noch eine kleine Frage gekommen.
kann man sagen, dass das Bogenmaß eines Winkels der Bogenlänge zwischen zwei Punkten des Einheitskreises entpricht?

PS.: $\begin{eqnarray*} \widehat{P_0P_x} \end{eqnarray*}$ soll den Bogen von P0 bis Px darstellen...

26.01.2006, 14:44

Leopold

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RE: Uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Besucher
Jtzt steht da, dass das uneigentliche Integral für x --> 1 konvergiert, da auf [0;1) gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1-\xi^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{1-\xi}} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{d \xi}{\sqrt{1-\xi^2}} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Entweder ist das ein Druckfehler oder du hast es falsch abgeschrieben. Sinn macht nämlich nur:

... daß das uneigentliche Integral für $\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, da auf $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1-\xi^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{1-\xi}} \end{eqnarray*}$ , und da $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{\mathrm{d} \xi}{\sqrt{1-\xi}} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Das ist das Majorantenkriterium. Man zeigt die Konvergenz eines Integrals mit positivem Integranden, indem man es mit einem konvergenten Integral mit größerem Integranden vergleicht. Anschaulich ist das klar: Wenn schon das Integral über der höher liegenden Kurve $\begin{eqnarray*} \xi \mapsto \frac{1}{\sqrt{1 - \xi}} \end{eqnarray*}$ einen endlichen Wert hat, so muß das Integral über der niedriger liegenden Kurve $\begin{eqnarray*} \xi \mapsto \frac{1}{\sqrt{1 - \xi^2}} \end{eqnarray*}$ erst recht einen endlichen Wert haben.

Und jetzt kannst du höchstens noch die Frage stellen: Warum gilt eigentlich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1 - \xi^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{1 - \xi}} \end{eqnarray*}$

Überlege dir:

Wie ändert sich die Differenz $\begin{eqnarray*} 1 - \xi^2 \end{eqnarray*}$ , wenn man $\begin{eqnarray*} \xi^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ersetzt? Wird sie also größer oder kleiner? Beachte, daß $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und 1 liegt.
Warum wirkt sich die nachgeschobene Wurzel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1 - \xi^2} \ \text{???} \ \ \sqrt{1 - \xi} \end{eqnarray*}$

auf die Antwort auf die letzte Frage nicht aus? Und wie ist das dann, wenn man zu den Kehrwerten

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1 - \xi^2}} \ \text{???} \ \ \frac{1}{\sqrt{1 - \xi}} \end{eqnarray*}$

übergeht?

Im übrigen kann man sich natürlich fragen, ob dieser Konvergenzbeweis wirklich nötig ist. Denn falls du die Stammfunktion des Integranden (also den $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ ) direkt verwenden darfst, bekommst du den Grenzwert ja auch direkt damit.

Und zu deiner letzten Frage:
Gewiß. Das Bogenmaß eines Winkel ist gerade die Länge des Bogens, den der Winkel aus dem Einheitskreis (um den Scheitel des Winkels) ausschneidet.

26.01.2006, 16:43

Besucher

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RE: Uneigentliches Integral
Hi,
danke für deine Hilfe!

Zitat:

Original von Leopold
Entweder ist das ein Druckfehler oder du hast es falsch abgeschrieben. Sinn macht nämlich nur:

zweiteres, hatte mich verschrieben.
Es so in meinem buch, wie du es geschrieben hast.
sorry!

Zitat:

Und jetzt kannst du höchstens noch die Frage stellen: Warum gilt eigentlich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1 - \xi^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{1 - \xi}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 - \xi^2 \geq 1- \xi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1 - \xi^2} \geq \sqrt{1 - \xi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1 - \xi^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{1 - \xi}} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

Zitat:

Im übrigen kann man sich natürlich fragen, ob dieser Konvergenzbeweis wirklich nötig ist. Denn falls du die Stammfunktion des Integranden (also den $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ ) direkt verwenden darfst, bekommst du den Grenzwert ja auch direkt damit.

Majorantenkriterium... hatten wir in der Schuele ja nicht wirklich und ich soll auch nur ne Halbestunde halten, also bringt das denke ich wirklich nicht viel...
Hat die Konvergenz nicht auch was über die Stetigkeit auszusagen?
(hatten wir leider nicht in der Schule, also soll das auch nicht ins Referat...)

Zitat:

Und zu deiner letzten Frage:
Gewiß. Das Bogenmaß eines Winkel ist gerade die Länge des Bogens, den der Winkel aus dem Einheitskreis (um den Scheitel des Winkels) ausschneidet.

Vielen Dank smile

26.01.2006, 20:22

20_Cent

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