Geom. Zahlen

26.01.2006, 13:30

lokomotive

Geom. Zahlen

Hallo...

Ich brauche einen Denkanstoss bei folgender Aufgabe:
grad (F,G)=grad (F + G)

Ich weiss, dass grad (F,G) = grad (F,E) * grad (E,G)
und, Q ( $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ ) = (Q( $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ) ( $\begin{eqnarray*} (\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ ), welches den grad = 4 hat.

Wäre dann grad Q( $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} (\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ ) = (a+b ( $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} (\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ ) ?

26.01.2006, 14:04

lokomotive

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RE: Geom. Zahlen
$\begin{eqnarray*} \sum_{i,j}~c_{ij}a_{i}b_{j} \end{eqnarray*}$

Das ist der Ansatz für die obige Gleichung grad (E,G) = grad(E,F)*grad(F,G), wobei $\begin{eqnarray*} a_{i}b_{j} \end{eqnarray*}$ die Basis für das Körperpaar (E,G) ist.

Beudeutet dies nun, ich muss einen Körper H finden, um zu zeigen: grad (F,G) = grad (F+G) = grad (F,H)*grad(h,G) ?

26.01.2006, 14:27

lokomotive

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da sich niemand äussert...
kann das also so banal sein?
grad(E,F)=grad(E+F)=grad(E)+grad(F)?

26.01.2006, 14:42

JochenX

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Zitat:

Original von lokomotive
da sich niemand äussert...

nicht so drängelig unglücklich

geduld ist eine tugend....

was sollen E,F,G überhaupt sein? sollen wir raten?

26.01.2006, 14:50

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Zitat:

Original von lokomotive
da sich niemand äussert...

Das kann auch dran liegen, weil du nicht mal erzählst, um welches Thema hier überhaupt geht. Man muss erst den ganzen Beitrag lesen, um mühsam herauszufiltern, dass es vermutlich um die Ordnung von Minimalpolynomen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[x] \end{eqnarray*}$ gehen soll, oder ähnlicher algebraischer Kram. Aber davon habe ich sowieso nicht so viel Ahnung, da musst du auf Leopold oder andere Experten warten.

P.S.: Jochen war schneller, ich send es trotzdem ab. Augenzwinkern

26.01.2006, 20:58

lokomotive

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Danke für den Tadel...
Genau das habe ich gebraucht.. irgendwelche zynischen Kommentare... Ob das eine Tugend ist?! Naja ich weiss nicht.

Nun gut...ich habe aber verstanden, dass mein Anliegen unverständlich ist.
Also E, F, G, oder H sind je Körper.

Danke

26.01.2006, 21:13

lokomotive

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RE: Geom. Zahlen
Achso und alle diese Körper sind Teilmengen von R.

P.S.:
Sorry meinen Ausfall oben. Dachte es wäre klarer formuliert gewesen.

26.01.2006, 23:31

JochenX

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Zitat:

grad (F,G)=grad (F + G)

das linke soll der grad einer körpererweiterung F/G sein? verwirrt

also grad F über G (G teilkörper von F)?

was ist F+G?

27.01.2006, 14:11

lokomotive

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also grad (F,G) bedeutet die Azahl aller Kollektionen die G linear erzeugt mit Koeffizienten in F, und für die das Minimalitätskriterium gilt.

Es gehört eigentlich noch zu algebraischen Zahlen, und ist der Übergang zu geometrischen Zahlen.

Die exakte Aufgabenstellung lautet aber,
Zeigen Sie:
grad Q( $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ) = grad Q ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ )

Dazu habe ich ein Beispiel mit der Multiplikation:
Q( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ) ist Körper.(oder auch nur F?!)
Dann erhalten wir mit Q( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ )*( $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ )=[Q( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ )]*( $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ) einen neuen Körper(G?!)

das ist in algebraischen Zahlen ausgedrückt : (a+b $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ )+(c+d $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ )* $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
und das hat den Grad 4 , da man da sganze als Kombination der Zahlen 1, $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ schreiben kann.

Mein Problem besteht auch darin, dass ich die Beweisführung von Folgendem nicht verstehe:
Es sind F Teilmenge von E Teilmenge von K
Es gilt grad (K,F) = grad (K,E)*grad(E,F)
$\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ ist Basis von (K,E) und $\begin{eqnarray*} b_{i} \end{eqnarray*}$ ist Basis von (E,F).
Dann ist $\begin{eqnarray*} a_{i}b_{i} \end{eqnarray*}$ die Bais für das Körperpaar(K,F)

es folgt der "Beweis":
$\begin{eqnarray*} \sum_{i,j}c_{ij}a_{i}b_{j} \end{eqnarray*}$ = 0 = $\begin{eqnarray*} \sum_{j}(\sum_{i} c_{ij}a_{i} )b_{j} \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{i} c_{ij}a_{i} \end{eqnarray*}$ =0 für alle i, da $\begin{eqnarray*} b_{j} \end{eqnarray*}$ linear unabhänngig.
Und $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ = 0 , da $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ lin. unabhängig.

Was ist $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ ? Kann das jemand als algebraische Zahl ausdrücken?

So das ist mein Wissen. Ich weiss aber auch nicht sicher, ob ich die richtigen Vorausetzungen herausgewfunden habe, um das Problem zu lösen.

27.01.2006, 16:04

lokomotive

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Also die gestellte Aufgabe denke ich lösen zu können.
grad Q(a,b)=grad[p(x),q(x)]=grad p(x)+grad q(x)=grad[p(x)+q(x)]=grad Q(a+b)
Also z.B. Q( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ )--->p(x)=x^2-2 und Q( $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ )--->q(x)=x^2-3 das wäre dann 4=2+2

und grad Q( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ )=6...usw. ?

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