DGL-Systeme

21.05.2008, 19:39

Erol

DGL-Systeme

Hallo,

nach langer Zeit bin ich mal wieder hier und will meine Kenntnisse etwas auffrischen.

Ich habe mir zwei Aufgaben rausgesucht, zu denen mir der Lösungsansatz nicht mehr ins Gedächtnis rücken mag Augenzwinkern

Ich poste sie erst mal:

Bestimmen sie die reelle Lösungsbasis und die allg. Lösung des Systems

$\begin{eqnarray*} \vec{x}' = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \vec{x} \end{eqnarray*}$

Hierfür benötige ich die Vorgehensweise OHNE die Lösung anzugeben, das mach ich dann im Laufe des Abends (hoffentlich richtig).

Die andere Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems

$\begin{eqnarray*} \vec{x}' = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -6 & -2 \end{pmatrix} \vec{x} + \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier das gleich wie oben. Egtl. ist es mit meinen Kenntnissen gar nicht so weit her, da ich das freiwillig aufarbeite fehlt mir die Unterstützung von außen.

21.05.2008, 22:00

Erol

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der ersten bin ich nun soweit:

Ich habe die Eigenwerte bestimmt (1+i und 1-i) und will nun den Eigenvektor zum ersten EW bestimmen, also den Kern von (A - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ I) $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2-i & 5 \\ -1 & -2-i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie komm ich bei einer solchen Matrix auf den Eigenvektor?

21.05.2008, 22:32

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee über die Diagonalisierung ist nicht schlecht, Du musst nur hinterher an das zurück transformieren denken. Ich geh mal davon aus das Du die Eigenwerte richtig berechnet hast.

Zitat:

Wie komm ich bei einer solchen Matrix auf den Eigenvektor?

Addiere das $\begin{eqnarray*} \frac{2 + i}{5} \end{eqnarray*}$ - Fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile.

21.05.2008, 23:11

Erol

Auf diesen Beitrag antworten »

Das bringt mich auf:

$\begin{eqnarray*} x1(2-i) = -5x2 \end{eqnarray*}$ . Nicht wahr? Ich sehe leider nicht, auf welchen EV mich das bringt Augenzwinkern

Ich weiß aber, dass mein zweiter EV dann der komplex konjugierte ist. KOmplexe Zahlen erfodern etwas Übung...

21.05.2008, 23:50

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das bringt mich auf:

Das bringt dich zunächst auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 - i & 5 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heisst Du hast einen freien parameter (Eigenraum dimension 1). Du hast unendlich viele Lösungen, um eine Lösung zu bekommen kannst Du den Parameter in der zweiten zeile, nämlich $\begin{eqnarray*} 0 * \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ beliebig wählen. Wie es Dir am besten passt, nur wird die $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ komponente dann abhängig von Lambda gesetzt. Meistens wählt man ihn so das die Lösung schön aussieht. Übrigens, warum ich Parameter und nicht $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ sage, liegt einfach daran das ein festes $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ nur eine Lösung suggerieren würde (was Prinzipiell jeder anders sieht Augenzwinkern

)

Ums noch klarer zu machen, die erste Zeile ergibt dann

$\begin{eqnarray*} (2 - i)x_1 + 5*\lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

DGL-Systeme

Verwandte Themen