Wahrscheinlichkeiten für Pokerstarthände

26.01.2006, 15:18

fnkmstr

Wahrscheinlichkeiten für Pokerstarthände

Es geht um Berechnungen von Starthänden der Pokervariante Texas Hold'em (Bei dieser Spielart erhält jeder Spieler am Anfang zwei "persönliche" Karten (Starthände), die nur ihm gehören und die nur er sieht. Darauf folgen 5 Gemeinschaftskarten, die jedem gehören und für jeden sichtbar sind. Für meine Berechnungen spielen die Gemeinschaftskarten allerdings keine Rolle.)

Gegeben sind: n=52 (großes Kartendeck mit 52 versch. Karten); r=2 (2 Karten, die die Starthand bilden)

Die sich daraus ergebenden möglichen Starthände (Reihenfolge spielt keine Rolle) ergibt sich aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 52 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 1326

Jetzt habe ich die Wahrscheinlichkeit für ein Paar (bspw. AA) auf der Starthand berechnet:
P(AA)= $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}}{1326} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{221} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein (unbestimmtes) Pärchen muss somit $\begin{eqnarray*} \frac{13}{221} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{17} \end{eqnarray*}$ betragen, da es 13 verschiedene Karten (A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2) gibt.

Wenn ich versuche, die Wahrscheinlichkeit für ein (unbestimmtes) Pärchen nach der Formel
P(Pärchen)= $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 52 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}}{1326} \end{eqnarray*}$
zu berechnen (ich ziehe aus den vorhandenen Karten zunächst eine beliebige und anschließen eine der drei im Kartendeck verbliebenen Karten der gleichen Sorte) komme ich allerdings auf den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{2}{17} \end{eqnarray*}$ . Was mache ich also falsch?

Ich vermute das es etwas mit der Ordnung/Reihenfolge zu tun hat. Würde ich den erhaltenen Wert nicht durch 1326 (Menge der Möglichkeiten ohne Berücksichtigung der Ordnung/Reihenfolge) sondern durch 2652 (Menge der Möglichkeiten mit Berücksichtigung der Ordnung/Reihenfolge) teilen würde, käme ich auf den richtigen Wert von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{17} \end{eqnarray*}$ , kann die Herleitung aber nicht nachvollziehen.

Hoffe jemand kann mir beim verständnis behilflich sein - danke. Wink

26.01.2006, 15:22

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$\begin{eqnarray*} \frac{13}{221} = \frac{1}{17} \end{eqnarray*}$

26.01.2006, 15:26

fnkmstr

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \frac{13}{221} = \frac{1}{17} \end{eqnarray*}$

joah, soweit bin auch schon gekommen (siehe oben), aber was soll mir das nun sagen?

26.01.2006, 15:28

JochenX

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warum so kompliziert?

erste karte beliebig; zweiter zug entscheidet
vor dem 2. zug sind noch 51 karten drin, davon 3 günstig
=> laplace verrät: P=1/17

ein zweizeiler ohne nachzudenken

26.01.2006, 15:29

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Deine Vermutung, dass es an der Reihenfolge liegt ist richtig: Bei der zweiten Berechnungsweise zählst du alle Paare doppelt, weil du sie als geordnete Paare auffasst: (Kreuz As, Pik As) ist aber dasselbe wie (Pik As, Kreuz As).

P.S.: Und oben steht wirklich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{7} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{17} \end{eqnarray*}$ ... Augenzwinkern

26.01.2006, 15:34

fnkmstr

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Zitat:

Original von LOED
warum so kompliziert?

erste karte beliebig; zweiter zug entscheidet
vor dem 2. zug sind noch 51 karten drin, davon 3 günstig
=> laplace verrät: P=1/17

ein zweizeiler ohne nachzudenken

ist keine schulaufgabe *g*, dementsprechend ging es nicht von anfang an um die fragestellung "wahrscheinlichkeit für ein pärchen". Habe das ganze aus Interesse berechnet und bin mir ja auch bewusst, das die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{17} \end{eqnarray*}$ beträgt, wüsste aber gerne welchen Denkfehler ich bei der Formel gemacht habe, bei der ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{17} \end{eqnarray*}$ gekommen bin.

Geht mir wie gesagt nicht darum ein richtiges Ergebnis "herauszuhaben" sondern darum meinen Denkfehler aufzudecken. (Was ja auch durchaus einmal bei einer komplizierten Aufgabe im Mathe LK hilfreich sein könnte, wenn man auch versteht was man rechnet Augenzwinkern

)

26.01.2006, 15:57

fnkmstr

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Deine Vermutung, dass es an der Reihenfolge liegt ist richtig: Bei der zweiten Berechnungsweise zählst du alle Paare doppelt, weil du sie als geordnete Paare auffasst: (Kreuz As, Pik As) ist aber dasselbe wie (Pik As, Kreuz As).

P.S.: Und oben steht wirklich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{7} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{17} \end{eqnarray*}$ ... Augenzwinkern

oh, das war dann sowas wie ein tippfehler smile

Die Formel kann ich also anpassen indem ich durch 2! teile?!

==> P(Pärchen)= $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 52 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}}{1326*2!} \end{eqnarray*}$

Bin wohl Systemsüchtig *g*

Danke für die Hilfe.

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