Laurentreihenentwicklung

26.01.2006, 21:29	mstudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihenentwicklung Hallo Leute! Hab hier eine Aufgabe zu lösen: Bestimme die Laurentreihenentwicklung von f(z)=1/(z(z-1)(z-2)) im Kreisring a) {z: 0<\|z\|<1} b) {z: 1<\|z\|<2} c) {z: 2<\|z\|<oo}. Bestimme das Residuum res(f,2). Also ich hab mit Partielbruchzerlegung angefangen: => 1/(z(z-1)(z-2)) = 1/(2z) - 1/(z-1) + 1/(2(z-2)) Laurenreihenentwicklung komponentenweise: 1/(2z) = (1/2)(1/z) = (1/2)(1/(1-(z-1))) = sum(z-1)^k für k=0:unendlich 1/(z-1) = - sum(z^k) für k=0:unendlich 1/(2(z-2)) = (1/2)(1/z-2) = (1/2)(1/((z-1)-1)) = (1/2)(-1/(1-(z-1)) = (-1/2)sum((z-1)^k) für k=0:unendlich Kann mir jemand sagen wie weit meine lösung richtig ist..?? Ich hab aber nicht berücksichtigt dass z´s verschieden sind......... kann mir jemand erklären wie ich das richtig machen kann? und wie berechne ich das Residuum?? LG mstudent
27.01.2006, 15:55	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
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27.01.2006, 17:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kreisringe in a),b),c) haben den Ursprung als Mittelpunkt. Gesucht ist daher die Laurent-Entwicklung um $\begin{eqnarray} z_0=0 \end{eqnarray}$ . Wie das im Fall b) geht, führe ich dir einmal vor. Versuche dann, die Lösung bei a) und c) allein zu finden: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2z} = \frac{1}{2} \, z^{-1} \ \ \mbox{für} \ \|z\|>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{z-1} = \frac{1}{z \left( 1 - \frac{1}{z} \right)} = \frac{1}{z} \sum_{\nu = 0}^{\infty}~\left( \frac{1}{z} \right)^{\nu} = \sum_{\nu = - \infty}^{-1}~z^{\nu}\ \ \mbox{für} \ \|z\|>1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2(z-2)} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z}{2}} = - \frac{1}{4} \sum_{\nu = 0}^{\infty}~\frac{1}{2^{\nu}} \, z^{\nu} = - \sum_{\nu = 0}^{\infty}~\frac{1}{2^{\nu + 2}} \, z^{\nu}\ \ \mbox{für} \ \|z\|<2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(z) = - \sum_{\nu = - \infty}^{-2}~z^{\nu} \ - \ \frac{1}{2} \, z^{-1} \ - \ \sum_{\nu = 0}^{\infty}~\frac{1}{2^{\nu + 2}} \, z^{\nu} \ \ \mbox{für} \ 1 < \|z\| < 2 \end{eqnarray}$ Um $\begin{eqnarray} \operatorname{Res}(f,2) \end{eqnarray}$ zu bestimmen, brauchst du dann die Laurent-Entwicklung um $\begin{eqnarray} z_0=2 \end{eqnarray}$ . Es ist aber nicht erforderlich, sie vollständig zu bestimmen, da ja nur der Koeffizient von $\begin{eqnarray} (z-2)^{-1} \end{eqnarray}$ benötigt wird. Den kann man aber unmittelbar ablesen, weil ja $\begin{eqnarray} \frac{1}{2z} - \frac{1}{z-1} \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} z_0=2 \end{eqnarray}$ holomorph ist.

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