Ungleichung natürlicher Logarithmus

26.01.2006, 22:00	AJDenton	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung natürlicher Logarithmus Hallo! Wir haben die schöne Aufgabe bekommen: Beweisen sie für $\begin{eqnarray} x > 0, x \neq 1 \end{eqnarray}$ die Abschätzung $\begin{eqnarray} 1 - \frac{1}{x} < ln (x) < x - 1 \end{eqnarray}$ Hinweis: Zeigen sie zunächst die Abschätzung $\begin{eqnarray} e ^ \frac{x}{x+1} < x+1 < e^x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x > -1, x \neq 0 \end{eqnarray}$ . Unterscheiden sie hierbei die Fälle $\begin{eqnarray} -1 < x < 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ . Ich bin dabei über den Hinweis gegangen und hab dort schon die rechte Ungleichung über die Darstellung von $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }( 1 + \frac{x}{n} ) ^n \end{eqnarray}$ , das ist dann größer als das Ding ohne den Grenzwert, dann wendet man die Bernoulli-Ungleichung an und ist fertig, und zwar für beide Fälle. Aber bei der linken Seite komme ich irgendwie nicht weiter. Hat jemand ne Idee?
27.01.2006, 12:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du $\begin{eqnarray} \ln(x) < x-1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ bereits nachgewiesen hast, dann setz doch einfach mal $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{y} \end{eqnarray}$ ein: $\begin{eqnarray} \ln\left(\frac{1}{y}\right) < \frac{1}{y}-1 \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} \ln\left(\frac{1}{y}\right) = -\ln(y) \end{eqnarray}$ ergibt sich dann auch deine linke Seite.
27.01.2006, 18:08	AJDenton	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, hast recht. Danke. Mist, hätte man wirklich drauf kommen können, naja...

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