gleichmäßige stetigkeit

26.01.2006, 22:10	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmäßige stetigkeit Hallo zusammen, kann mal bitte jemand drüber schauen, ich bin schonmal gespannt Sei $\begin{eqnarray} f : \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ stetig mit $\begin{eqnarray} \lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: Es existiert ein $\begin{eqnarray} x_0\in\mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|f(x)\|\leq \|f(x_0)\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . b) $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist gleichmäßig stetig auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Unsere Def. von gleichmäßiger Stetigkeit: Eine Funktion $\begin{eqnarray} f : D \to \mathbb R \end{eqnarray}$ heißt gleichmäßig stetig, wenn zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta >0 \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} \|f(x_1)-f(x_2)\|<\varepsilon \mbox{~für~alle~} x_1,x_2\in D \mbox{~mit~} \|x_1-x_2\|<\delta \end{eqnarray}$ Wähle $\begin{eqnarray} x_1<x_2\in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|f(x)\|<\|f(x_1)\|\ \ \forall x<x_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|f(x)\|<\|f(x_2)\|\ \ \forall x>x_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1, x_2 \end{eqnarray}$ ex. wegen der Def. des Grenzwertes von Funktionen und der Vorraussetzung. Betrachte nun das Kompaktum $\begin{eqnarray} [x_1,x_2] \end{eqnarray}$ . Mit der Stetigkeit folgt aus dem Satz vom Minimum und Maximum, dass ein $\begin{eqnarray} x_0\in[x_1,x_2] \end{eqnarray}$ ex. mit $\begin{eqnarray} \|f(x)\|\leq\|f(x_0)\|\ \ \forall x\in [x_1,x_2] \end{eqnarray}$ . da $\begin{eqnarray} \|f(x_0)\|\geq\|f(x_1)\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|f(x_0)\|\geq\|f(x_2)\| \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \|f(x)\|\leq\|f(x_0)\|\ \ \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Wähle für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon>0\ \ \ x_1 \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} \|f(x_1)\|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ und außerdem $\begin{eqnarray} \|f(x)\|<\|f(x_1)\|\ \ \forall x<x_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ex. wieder wegen der Def. des Grenzwertes. Gehe analog dazu vor für $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ , als obere Grenze. Sei nun $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ beliebig, dann gilt: $\begin{eqnarray} \|f(x')-f(x'')\|<\|2f(x_1)\|<\varepsilon \ \ \forall x',x''<x_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|f(y')-f(y'')\|<\|2f(x_2)\|<\varepsilon \ \ \forall y',y''>x_2 \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig ist, ist es gleichmäßig stetig auf dem Kompaktum $\begin{eqnarray} [x_1,x_2] \end{eqnarray}$ . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist. Hoffentlich stimmts, danke schonmal. mfG 20
27.01.2006, 12:08	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Richtung stimmt im Großen und Ganzen, allerdings sind einige Stellen bzgl. $\begin{eqnarray} < \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ u.ä. sorgfältiger zu überlegen. Denk daran, dass auch die Nullfunktion $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ die Voraussetzungen erfüllt!
27.01.2006, 16:41	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt... darauf hab ich nicht geachtet. Zur Sicherheit könnte ich aber einfach überall $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ schreiben, oder mache ich damit fehler? mfG 20

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