Erwartungswert

26.01.2006, 23:57

Gast007

Erwartungswert

Hallo zusammen

habe ein kleines Verständisproblem bei einer Aufgabe.
http://www.inf.uni-konstanz.de/algo/lehr...ebungen/u11.pdf
Aufgabe 33 und dann die c).

Ich habe auf wiki bei Erwartungswert bisschen gestöbert und bin zu folgendem gekommen:

Zufallsvarable X mit © = {1,...,n} und den Wahrscheinlichkeiten p1(1) = 1/1, p1(2) = 1/2, p1(3) = 1/3 ..., p1(n)=1/n

E(X) = $\begin{eqnarray*} \sum_{i}~ x(index i)p(index i) = 1*1+2*\frac{1}{2}+3*\frac{1}{3} ... = \infty \end{eqnarray*}$

ok wenn das richtig sein sollte, dann wäre die Fallunterscheidung bei p2(i) irgendwie sinnlos, denn i wäre immer gleich n ... von daher kann meine Überlegung nicht richtig sein.
wäre nett wenn mich jemand korrigieren könnte.

27.01.2006, 00:06

JochenX

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äh, den link seh ich nicht (könnte aber auch an der FW liegen)

aber deine schreibweise ist grauenhaft; indizes mit "_{.....}" anhängen
$\begin{eqnarray*} a_{i,j}b_k \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]a_{i,j}b_k[/latex]

27.01.2006, 00:09

Gast007

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OK, da die Seite grad nicht funktioniert

Sei GroßOmega = {1, . . . , n},
p1(i) = 1/n und
p2(i) = (1/2)^i falls i < n , und (1/2)^(n-1) falls i = n .
Sei X : GroßOmega --> R, i --> i.

27.01.2006, 02:06

Ben Sisko

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Hallo Gast,

die Summe bei deinem Erwartungswert geht nur bis n, mit unendlich ist da nix Augenzwinkern

Gruß vom Ben

27.01.2006, 10:20

Gast007

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natürlich

und wenn p1(i) richtig ist, dann würde bei p2(i) rauskommen:

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{i}~ x_{i}p2_{i} = 1*1+2\frac{1}{2}+3\frac{1}{4}+4\frac{1}{16}+...+n(\frac{1}{2})^{n-1} = ?? \end{eqnarray*}$

was kommt dann da raus ?? 3,.. ??

27.01.2006, 12:21

Gast007

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also gut ... ich habs jetzt doch rausgekriegt. Waren ja noch ein paar Fehler drin ...

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{i}~ x_{i}p_{2,i} = 1*1+2\frac{1}{2}+3\frac{1}{4}+4\frac{1}{8}+...+n(\frac{1}{2})^{n-1} = 2-(n+1)(\frac{1}{2})^{n-1} \end{eqnarray*}$

27.01.2006, 13:33

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Da sind immer noch einige Fehler drin. Befolge doch die Aufgabenstellung b) und zeige erstmal

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n ~ i\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^i = 2 - (n+2)\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

Das ist aber noch nicht der Erwartungswert, denn die letzte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_{2,n} \end{eqnarray*}$ ist nicht gleich $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$ , sondern doppelt so groß: $\begin{eqnarray*} p_{2,n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

Also ist, je nachdem, wie man es schreibt:

$\begin{eqnarray*} E(X) = n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} ~ + ~ \sum\limits_{i=1}^{n-1} ~ i\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^i = n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n ~ + ~ \sum\limits_{i=1}^n ~ i\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^i \end{eqnarray*}$

27.01.2006, 18:05

Gast007

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ahja, danke.
aber könnte ich das dann noch weiter vereinfachen ?

$\begin{eqnarray*} E(X) = n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} ~ + ~ \sum\limits_{i=1}^{n-1} ~ i\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^i = n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n ~ + ~ \sum\limits_{i=1}^n ~ i\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^i = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n~+~2 - (n+2)\left(\frac{1}{2}\right)^n~=~n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n~+~2-~n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n-~2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n~= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2~-~2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

27.01.2006, 18:06

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Richtig.

28.01.2006, 00:17

Gast007

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Danke, danke Prost

aber könnte noch kurz jemand schaun, ob diese Ansätze hier richtig sind. Ich bekomm da irgendwie ellenlange Ergebnisse raus verwirrt

einmal für Varianz:

$\begin{eqnarray*} V(X):=E((x-E(x))^{2})~=~\sum_{i=1}^n~(x_{i}-n)^{2}~=~\sum_{i=1}^n~x_{i}^{2}-2x_{i}n+n^{2}~=~n^{2}~+~\sum_{i=1}^n~x_{i}^{2}~-~\sum_{i=1}^n~2x_{i}n \end{eqnarray*}$

und einmal für die Standardabweichung:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}~:~Erwartungswert(Mittelwert) \end{eqnarray*}$ (jaja ich weis, issen Vektorzeichen) Lehrer

$\begin{eqnarray*} \vec{x}~:=~\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n~x_{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n~(x_{i}-\vec{x})^{2}} \end{eqnarray*}$

und hier bekomm ich noch ein längeres Ergebniss raus ... Hilfe

28.01.2006, 00:30

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Sag mal, es geht hier doch um die Varianz der Zufallsgröße, die wir gerade eben betrachtet haben? Da darfst du doch nicht $\begin{eqnarray*} E(X)=n \end{eqnarray*}$ setzen! unglücklich

Am besten rechnest du das über die Formel $\begin{eqnarray*} V(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ . Den Wert $\begin{eqnarray*} E(X)=2\left[1-\left(\frac{1}{2} \right)^n\right] \end{eqnarray*}$ kennen wir bereits, und

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = \sum_{i=1}^n ~ p_{2,i}\cdot i^2 \end{eqnarray*}$

muss noch ausgerechnet werden.

28.01.2006, 00:51

Gast007

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tschuldigung mein Fehler. Es geht hier um $\begin{eqnarray*} p_{1,i} \end{eqnarray*}$ . Und da hab ich $\begin{eqnarray*} E(X)=n \end{eqnarray*}$ raus

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