Eigenwerte / Determinante

27.01.2006, 10:36	Smeago1	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte / Determinante Hi, ich hänge an folgender Aufgabe und brauche dringend nen tip wie ich das angehe.. Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer R-Vektorraum und f: V -> V eine orthogonale Abbildung. Zeigen sie, daß jeder Eigenwert Lamda der zugehörigen Matrix den Betrag 1 hat und daß deren Determinante gleich +/- 1 ist.
27.01.2006, 10:41	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
So, mal von vorn Du musst folgendes benutzen f ist orthogonal also $\begin{eqnarray} <f(v),f(v)> = <v,v> \end{eqnarray}$ <.,.> ist positiv definit also $\begin{eqnarray} <v,v> > 0 \\| v \neq 0 \end{eqnarray}$ f ist invertierbar => kein Nulleigenwert <.,.> ist linear in beiden Argumenten Der Beweis ist ne Gleichungskette die in eine Zeile passt . Man braucht halt nur die Idee das auf zu schreiben sei $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ Eigenwert und v EV zu $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ dann ...
29.01.2006, 16:54	Smaego1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort.. Aber wozu das Skalarprodukt? Mir fehlt noch irgenwie die Verbindung zwischen zu ner Matrix bzw Determinante/Eigenwerten..
29.01.2006, 17:02	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest den Beweis ohne die Matrixdarstellung machen. Du solltest es direkt mit der linearen Abbildung machen v ist ein Eigenvektor eines Endomorphismus f: V -> V zu Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} f(v) = \lambda \cdot v \end{eqnarray}$ Denk dran, dein Satz setzt eine orthogonale Abbildung vorraus, ergo brauchst Du keine Matrix, das würde den Beweis auch zu kompliziert machen. edit Die Determinante brauchst Du für diesen Beweis übrigens nicht

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