Operatornorm

22.05.2008, 13:09

Dunkit

Operatornorm

Und noch eine Frage:
OIch will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ||A||_\infty = \max_{1 \leq i \leq N} \sum_{j=1}^N|a_{ij}| \end{eqnarray*}$ die Operatornorm zu $\begin{eqnarray*} ||{x}||_\infty \end{eqnarray*}$ ist.
Ich habe bereits gezeigt, dass gilt $\begin{eqnarray*} ||Ax||_\infty \leq ||A||_\infty \cdot ||x||_\infty \end{eqnarray*}$ .
Nun suche ich denjenigen Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für den die Gleichheit gilt, denn es muss ja sein $\begin{eqnarray*} ||A|| = \max _{||x|| = 1} ||Ax|| \end{eqnarray*}$ .
Ich komme aber nicht drauf. Nicht schlecht ist schonmal der Vektor mit lauter 1en, aber der leifert mir ja dann multipliziert mit A nur die Summe der einzelnen Zeilen, nicht die SUmmern der BETRÄGE.... Versteht ihr mein PRoblem?
Wie muss ich den Vektor x wählen?

22.05.2008, 14:32

therisen

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Sei $\begin{eqnarray*} l\in\{1,\dots, N\} \end{eqnarray*}$ so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} \max_{1 \leq i \leq N} \sum_{j=1}^N|a_{ij}|=\sum_{j=1}^N |a_{lj}| \end{eqnarray*}$ . Zu jedem $\begin{eqnarray*} a_{lj} \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \alpha_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{lj}=|a_{lj}|e^{i\alpha_j} \end{eqnarray*}$ . Wähle nun $\begin{eqnarray*} x=(e^{-i\alpha_1},\dots,e^{-i\alpha_N})^T \end{eqnarray*}$ .

22.05.2008, 15:03

Dunkit

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Zitat:

Original von therisen
Sei $\begin{eqnarray*} l\in\{1,\dots, N\} \end{eqnarray*}$ so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} \max_{1 \leq i \leq N} \sum_{j=1}^N|a_{ij}|=\sum_{j=1}^N |a_{lj}| \end{eqnarray*}$ . Zu jedem $\begin{eqnarray*} a_{lj} \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \alpha_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{lj}=|a_{lj}|e^{i\alpha_j} \end{eqnarray*}$ . Wähle nun $\begin{eqnarray*} x=(e^{-i\alpha_1},\dots,e^{-i\alpha_N})^T \end{eqnarray*}$ .

Hm, also den ersten Teil verstehe ich.
Aber wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} a_{lj} = |a_{lj}|e^{i\alpha_j} \end{eqnarray*}$ ? Bzw wieso kann man so ein $\begin{eqnarray*} \alpha_j \end{eqnarray*}$ immer finden? und dann das Minus in $\begin{eqnarray*} x=(e^{-i\alpha_1},\dots,e^{-i\alpha_N})^T \end{eqnarray*}$ - wo kommt das her? Oder hast du das oben nur vergessen?

22.05.2008, 15:09

therisen

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Zitat:

Original von Dunkit
Aber wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} a_{lj} = |a_{lj}|e^{i\alpha_j} \end{eqnarray*}$ ? Bzw wieso kann man so ein $\begin{eqnarray*} \alpha_j \end{eqnarray*}$ immer finden?

Das ist trivial. Je nach dem, ob $\begin{eqnarray*} a_{lj} \end{eqnarray*}$ nichtnegativ oder negativ ist, wähle man $\begin{eqnarray*} \alpha_j=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \alpha_j=\pi \end{eqnarray*}$ . Denk mal an Polarkoordinaten!

Zitat:

Original von Dunkit
und dann das Minus in $\begin{eqnarray*} x=(e^{-i\alpha_1},\dots,e^{-i\alpha_N})^T \end{eqnarray*}$ - wo kommt das her? Oder hast du das oben nur vergessen?

Nein, das habe ich ganz bewusst so gewählt. Du wirst es brauchen, glaub mir Augenzwinkern

22.05.2008, 15:18

Dunkit

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Das heißt doch, dass dann im Vektor $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ der l-te Eintrag gerade $\begin{eqnarray*} ||A||_\infty \end{eqnarray*}$ ist, weil die $\begin{eqnarray*} e^{-i\alpha_j} \end{eqnarray*}$ -1 sind, wenn der Eintrag in der l-ten Zeile von A negativ ist und +1 sind, wenn der Eintrag positiv ist, oder? Das ist also wie als wenn man die Beträge addieren würde (jedenfalls in der l-ten Zeile)
Und wenn man dann die Maximumnorm dieses Vektors $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ betrachtet erhält man logischer Weise gerade diesen l-ten Eintrag, richtig?

22.05.2008, 15:21

therisen

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Ja, allerdings sollte man nicht mit Prosa argumentieren, sondern präzise Formeln sprechen lassen.

22.05.2008, 15:24

Dunkit

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Ja gut danke, das krieg ich hin Augenzwinkern

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