unterschied kurvenintegral zu bogenlänge einer kurve

27.01.2006, 13:50

Milchbub

unterschied kurvenintegral zu bogenlänge einer kurve

hey hab da ein verständnis problem:

Die bogenläne einer Kurve rechnet man ja mit:

$\begin{eqnarray*} s= \int_{t_1}^{t_2}~\sqrt{x'^2 + y'^2}~dt \end{eqnarray*}$

aus.

und ein linie oder Kurvenintegral mit:

$\begin{eqnarray*} \int_{C}^{}~F~d \vec{r} = \int_{t_1}^{t_2}~(\vec{F} * \vec{r'} ) ~dt \end{eqnarray*}$

aus.

nur wo liegt zwischen den beiden integralen der unterschied.
die bogenlänge der kurve heißt doch, dass man die länge der kurve berechnet (z.b: wenn ich mit dem auto eine straße lange fahre, die kurven besitzt, dann zeigt der tarro mir ja den gefahren weg an....(die länge der kurve))

aber was ist dann das kurvenintegral? ist das, die auf eine achse projezierte länge der kurve? und hab da nochwas mit irgendwelchen eigenschaften gelesen, wie wegabhängigkeit.

bitte erlöst mich mit verständlichen erklärungen aus meiner unwissenheit

27.01.2006, 13:58

phi

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Das Kurvenintegral wird oft als Analogie zur Arbeit betrachtet die aufzuwenden ist um in einem Vektorfeld von einem Punkt zum anderen zu gelangen.

Und die Wegunabhängigkeit bedeutet das es egal ist "ob man am linken oder am rechten Flußufer gegen den Strom schwimmt"

Damit wird auch klar warum Wirbel oder Quellen die Wegunabhängig stören können, da die "Strömung" dann überall in verschiedene Richtungen gehen kann.

mfg, phi.

27.01.2006, 14:05

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@Milchbub

Da gibt es gravierende Unterschiede: $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\vec{r} \end{eqnarray*}$ ist ein vektorielles Differential, während $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}s \end{eqnarray*}$ ein Weglängen-Differential darstellt. Formal kann man das durch $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}s = |\mathrm{d}\vec{r}| \end{eqnarray*}$ kennzeichnen. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} \end{eqnarray*}$ das Skalarprodukt, es gilt somit i.a.

$\begin{eqnarray*} \int\limits_C ~ \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} \neq \int\limits_C ~ |\vec{F}| ~ \mathrm{d}s \end{eqnarray*}$ .

Wenn die Kurve im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ parametrisch vorliegt, d.h. $\begin{eqnarray*} (x(t),y(t)) \end{eqnarray*}$ mit differenzierbaren Anteilen, dann gilt

$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\vec{r} = \begin{pmatrix} \dot{x}(t)\\ \dot{y}(t)\end{pmatrix} ~ \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ im Unterschied zu $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}s = \sqrt{(\dot{x}(t))^2+(\dot{y}(t))^2} ~ \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

27.01.2006, 14:15

Milchbub

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hm immer noch nicht so ganz klar.
zu bogenlänge: das ist doch die läne der kurve?

zu kurvenintegral: das ist der kürzeste weg zwischen zwei punkten ( also egal wie das inegral verläuft, ich nehme den kürzesten weg, wie zb. bei der potential im elektrischen feld)?

27.01.2006, 14:32

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Zitat:

Original von Milchbub
zu kurvenintegral: das ist der kürzeste weg zwischen zwei punkten ( also egal wie das inegral verläuft, ich nehme den kürzesten weg, wie zb. bei der potential im elektrischen feld)?

Jetzt wirfst du zwei Dinge durcheinander: Das eine ist das Kurvenintegral

$\begin{eqnarray*} \int\limits_C ~ \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} \end{eqnarray*}$

was tatsächlich entlang der Kurve $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ auszuwerten ist und für allgemeines $\begin{eqnarray*} \vec{F} \end{eqnarray*}$ von der Kurve auch abhängt.

Nur im Speziallfall, dass $\begin{eqnarray*} \vec{F} \end{eqnarray*}$ Gradient eines Potentialfeldes ist (Physik: konservative Kraft), hängt dieses Integral nur von Anfangs- und Endpunkt ab, also nicht vom konkreten Weg dazwischen.

P.S.: Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{F} \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine Kraft ist, dann gibt $\begin{eqnarray*} \int\limits_C ~ \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} \end{eqnarray*}$ eine Arbeit an, keinen Weg!!!

27.01.2006, 14:47

Milchbub

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ja und wo liegt dann der unterschied zur bogenlänge der kurve?

27.01.2006, 15:01

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Arbeit ist Arbeit, und Weg ist Weg. Das sind völlig unterschiedliche physikalische Größen!!!

27.01.2006, 15:24

Milchbub

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mathematisch betrachtet sind das doch beides wege, darauf war meine frage bezogen

27.01.2006, 16:27

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Was den mathematischen Unterschied der Integrale betrifft, habe ich oben doch schon geantwortet. Wenn daran etwas unklar war, dann bitte detailliert nachfragen, und nicht immer wiederholen "Was ist der Unterschied zur Bogenlänge?". Dann drehen wir uns nämlich im Kreis.

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