Dualraum

22.05.2008, 13:57

Romaxx

Dualraum

Hallo an alle,

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Seien $\begin{eqnarray*} \iota : V \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Funktion gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} \iota(f)=f(0) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} f \in V \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ ein Element von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ ist.

Hab nun einige Fragen dazu:

Ist V unendlich dimensional? Ich denke ja.
Wenn ja, wie soll es dann möglich sein $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der $\begin{eqnarray*} v_i^* \end{eqnarray*}$ darzustellen, denn diese würde mir unendliche Summen der $\begin{eqnarray*} v_i^* \end{eqnarray*}$ liefern, da $\begin{eqnarray*} \iota(v_i)\neq 0 \end{eqnarray*}$ für unendlich viele $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ wäre.

Gruß

22.05.2008, 14:03

therisen

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RE: Dualraum

Zitat:

Original von Roman Föll
Ist V unendlich dimensional? Ich denke ja.

Ja.

Zitat:

Original von Roman Föll
Wenn ja, wie soll es dann möglich sein $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der $\begin{eqnarray*} v_i^* \end{eqnarray*}$ darzustellen, denn diese würde mir unendliche Summen der $\begin{eqnarray*} v_i^* \end{eqnarray*}$ liefern, da $\begin{eqnarray*} \iota(v_i)\neq 0 \end{eqnarray*}$ für unendlich viele $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ wäre.

Völlig unnötig. Wie ist denn der Dualraum eines Vektorraumes definiert? Es genügt die definierende Eigenschaft nachzuweisen.

22.05.2008, 14:04

kiste

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Ja V ist unendlich-dimensional.
Was sind den $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_i^* \end{eqnarray*}$ ?
Naja wie auch immer, alles was du zeigen musst ist doch das $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ linear ist. Und das ist trivial

22.05.2008, 14:21

Romaxx

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Hallo,

Definition: Der $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} Hom(V,K) \end{eqnarray*}$ wird mit $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ bezeichnet. $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ wird der zu V duale Raum genannt. Die Elemente von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ heißen Linearformen.

Das heisst, es genügt zu zeigen, $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ ist eine Linearform, welche alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ schickt.

Sei $\begin{eqnarray*} v, w \in V \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \iota(v+w) =(v+w)(0)=(v)(0)+(w)(0)=\iota(v)+\iota(w) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iota(\lambda v) =(\lambda v)(0)=\lambda(v)(0)=\lambda\iota(v) \end{eqnarray*}$

und da für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} v(0) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die Beh. gezeigt.

22.05.2008, 14:57

WebFritzi

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Bis auf, dass du statt (v)(0) eher v(0) schreiben solltest, ist es richtig, was du schreibst.

22.05.2008, 15:50

Romaxx

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Die Aufgabenstellung etwas erweitert:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Seien $\begin{eqnarray*} \delta, \iota, \alpha : V \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Funktion gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} \delta(f)=f(0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iota(f)=\int_{0}^{1}f(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha(f)=f'(0) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} f \in V \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \delta, \iota, \alpha \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Mein Ansatz lautet wie folgt:

Ich stelle eine Linearkombintaion der Elemente $\begin{eqnarray*} \delta, \iota, \alpha \end{eqnarray*}$ auf, welche 0 sein soll.

$\begin{eqnarray*} \lambda_1\cdot\delta+ \lambda_2\cdot\iota+ \lambda_3\cdot\alpha=0 \end{eqnarray*}$

Diese soll nun für alle $\begin{eqnarray*} f \in V \end{eqnarray*}$ erfüllt sein.

Einsetzen und umformen bringt mich auf eine DFG.

$\begin{eqnarray*} \lambda_1\cdot f(0)+\lambda_2\cdot (F(1)-F(0))+\lambda_3\cdot f'(0)=0 \end{eqnarray*}$

Bin ich auf dem richtigen Weg ?

Gruß

22.05.2008, 22:09

WebFritzi

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Was ist F? Ansonsten setze doch mal bestimmte Funktionen ein.

22.05.2008, 22:25

Romaxx

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , welche aus $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}f(x)~dx \end{eqnarray*}$ folgt.

Ich folge deiner Aufforderung mal und wähle $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \delta(sin(x))=sin(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iota(sin(x))=\int_{0}^{1}sin(x)~dx=(-cos(1)+cos(0))=1.54030231 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha(sin(x))=cos (0)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta(cos(x))=cos(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iota(cos(x))=\int_{0}^{1}cos(x)~dx=(sin(1)-sin(0))=0.841470985 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha(cos(x))=-sin (0)=0 \end{eqnarray*}$

Kann damit jetzt noch nicht wirklich etwas anfangen. Für diese Funktion finde ich ja Skalare für meine Linearkombination. Hast du noch nen kleinen Tipp?

Gruß

22.05.2008, 22:32

Mathespezialschüler

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Es gibt nicht die Stammfunktion. Du könntest höchstens sagen, $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sei eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Im Übrigen ist deine Wahl der Funktionen vielleicht etwas unglücklich. Einfache Polynome tun es doch auch. Du gehst ja von der Gleichung

$\begin{eqnarray*} a\delta+b\iota+c\alpha=0 \end{eqnarray*}$

aus und sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Versuche doch dann lieber Funktionen zu finden, für die zwei der drei Abbildungen Null ergeben und die dritte eine Zahl ungleich Null.

22.05.2008, 23:01

Romaxx

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Hallo,

das es die Stamfunktion nicht gibt, ist mir klar. Mit $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ meinte ich vielmehr die Stammfunktion ohne konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , da diese beim Berechen des Integrals sowieso herausfällt.

Zu der Sache, die du mir vorgeschlagen hast.

$\begin{eqnarray*} \delta(x^2))=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iota(x^2)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha(x^2)=0 \end{eqnarray*}$

Als Linearkombination erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} a\cdot 0+b\cdot\frac{1}{3}+c\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$

Nur daraus folgt noch nicht, dass $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ , sondern höchstens $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ .

Hab ich vielleicht deinen Post nicht genau genug gelesen, um zu verstehen, wie du nun auf die triviale Darstellung schließen kannst? Hilf mir bitte noch ein wenig auf die Sprünge.

Gruß

22.05.2008, 23:28

WebFritzi

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Zitat:

Original von Roman Föll
Mit $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ meinte ich vielmehr die Stammfunktion ohne konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$

Ist genauso Quatsch.

Zitat:

Original von Roman Föll
$\begin{eqnarray*} a\cdot 0+b\cdot\frac{1}{3}+c\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$

Nur daraus folgt noch nicht, dass $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ , sondern höchstens $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ .

Nein, b = 0. Und das ist doch schon was.

22.05.2008, 23:46

Romaxx

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Zitat:

Ist genauso Quatsch.

Wieso soll das Quatsch sein? Das meine Aussage, die Mathespezialschüler schon erwähnt hat, nicht ganz korrekt war, habe ich doch schon eingeräumt.

Zitat:

Nein, b = 0. Und das ist doch schon was.

Hab ich gemeint smile

.

Und wie verfahre ich dann weiter, wenn das schon was ist?

Gruß

22.05.2008, 23:59

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Roman Föll
Wieso soll das Quatsch sein? Das meine Aussage, die Mathespezialschüler schon erwähnt hat, nicht ganz korrekt war, habe ich doch schon eingeräumt.

Weil du davon ausgehst, dass es eine "kanonische" oder eine "ausgezeichnete" Stammfunktion gäbe. Warum sollte das so sein? Was ist an $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ als Stammfunktion für $\begin{eqnarray*} f(t)=1 \end{eqnarray*}$ besser als $\begin{eqnarray*} t+1 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Versuche doch dann lieber Funktionen zu finden, für die zwei der drei Abbildungen Null ergeben und die dritte eine Zahl ungleich Null.

Ich habe extra von Funktionen gesprochen. Du hast jetzt eine gefunden, für die $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ Null ergeben, $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ jedoch nicht. Jetzt musst du eben noch welche finden, für die jeweils einer der anderen beiden Abbildung Eins ergibt, während die restlichen zwei Null ergeben.

Das ist doch auch irgendwie klar - du hast drei Variablen und willst diese jetzt mit einem Gleichungssystem bestimmen. Damit da überhaupt etwas eindeutiges herauskommen kann, brauchst du ja auf jeden Fall erstmal drei Gleichungen. Und so wie du eben $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ bekommen hast, bekommst du durch andere Wahlen von Funktionen gerade $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ , das sollte doch eigentlich klar sein.

23.05.2008, 00:15

Romaxx

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Danke dir, jetzt ist es mir klar.

Und zu der einen Sache noch, mit der Stammfunktion. Ihr habt recht smile

Bis dann Gruß

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