grenzwert

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PG Auf diesen Beitrag antworten »
grenzwert
Eins habe ich nie in der mathematik bzw. weiss ich noch immer nicht, nämlich den grenzwert...
kann mir einer erklären wofür der limes (grenzwert) wichtig ist??
unter grenzwert würde ich selbst den wertebereich verstehe,der beim größten definitonsbereich rauskommt....

kann mir bitte jemand ein beispiel geben und GENAU(kein wikipedia) erklären, was ich darunter verstehn kann???
Spooner Auf diesen Beitrag antworten »

Wofür man den Grenzwertbegriff braucht??? Analysis!!! Wie berechnet man die Steigung einer Kurve an einem Punkt: durch die Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt! Und was ist die Tangente? Der Grenzwert der Sekante für "unendlich nah" beieinander liegende Sekanten-Graphen-Schnittpunkte...

Eine kurze Zusammenfassung ist aber nicht so ohne weiteres möglich, was daran liegt, dass der Grenzwertbegriff - wie eigentlich alles in der Mathematik - eigene Beschäftigung braucht!
rain Auf diesen Beitrag antworten »

ein beispiel ist die ableitung.
die beruht auf der bildung eines grenzwertes...ich denke du hast des schonmal gehört und es bedarf keiner genaueren erklärung.oda?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: grenzwert!!????
Zitat:
Original von PG
unter grenzwert würde ich selbst den wertebereich verstehe,der beim größten definitonsbereich rauskommt....

wie kommst du darauf?

vielleicht sagst du uns mal, was dir an der grenzwertsache unklar ist
"limes x gegen a" besagt umgangssprachlich nur, dass x a zwar nicht erreicht, aber du davon ausgehen sollst, dass es beliebig nahe rankommt
PG Auf diesen Beitrag antworten »

also was ist z.b. das a?? man kann doch sagen, dass es die stelle ist, das der graph nie berühren wird, also die polstelle bzw. asymptote!

wann oder warum macht man z.b. :





PS:übrigens wie macht man das unendlch-zeichen??
rain Auf diesen Beitrag antworten »

um die asymptoten zu bestimmen.
ist z.B.ganz hilfreich um des ding zu zeichnen von hand
 
 
Spooner Auf diesen Beitrag antworten »

Das unendlich Zeichen heißt in latex infty mit dem üblichen backslash davor.

Die Asymptote ist eine Funktion, a eine Stelle... Wie gesagt, wo viel durcheinander ist, hat man die Chance, viel zu ordnen...
PG Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiss es noch immer net, wofür der grenzwert da íst bzw ich weiss noch nicht mal was das ist... traurig

bitte helft mir...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also was ist z.b. das a??

prinzipiell kann a alles sein (jede reelle zahl, aber auch + oder -unendlich)

z.b. geht auch , aber ob das sinn macht, gerade diesen grenzwert zu betrachten, ist dann die andere frage. wenn sich x gaaaaanz dolle 2 nähert, dann nähert sich 2x einfach 4 und das ist der grenzwert.
aber wie gesagt, a kann alles sein!

"sinnvolle" grenzwerte braucht man z.b., wenn man eine funktion auf stetigkeit überprüfen möchte; bzw. eben schauen möchte, wie sich die funktion gegen unendlich verhält



sinnvolle untersuchungen sind z.b.
, denn wenn x betragsmäßig immer größer wird, geht 1/x natürlich gegen 0
oder zum beispiel auch
du siehst: 0 darfst du nicht einsetzen, wegen durch 0 teilen!
aber du kannst den grenzwert bestimmen, solange x nämlich ungleich 0 ist (hier größer 0), ist 1/x definiert. und dann siehst du: wenn x gaaaaaanz dolle nah an 0 herankommt, geht 1/x gegen unendlich.



mit diesem wissen kannst du schon mal einiges der funktion annähernd skizzieren..... versuchs mal.....
PG Auf diesen Beitrag antworten »

hey loed !! damit hast du schon sehr viele fragen beantwortet, aber einige habe ich noch smile

Zitat:
"sinnvolle" grenzwerte braucht man z.b., wenn man eine funktion auf stetigkeit überprüfen möchte; bzw. eben schauen möchte, wie sich die funktion gegen unendlich verhält


genau darauf wollte ich auch kommen. warum will man die funktionen auf stetigkeit überprüfen?? man kann es doch direkt von der funktion ablesen,dass es stetig ist. und schreibt man limes, damit man halt weiss, dass man hier die stetigkeit überprüfen will??


Zitat:
denn wenn x betragsmäßig immer größer wird, geht 1/x natürlich gegen 0


jetzt hast du mir wenigstens erklärt, warum das 0 wird smile , weil es sich nämlich immer weiter annähert und unendlich lang. dadurch verkleinert sich der wert immer weiter und man kann dann halt einfach sagen,dass es 0 ist! richtig?
das meine ich aber auch, denn x=0 ist doch auch gleichzeitig die polstelle und eine waagerechte asymptote bei y=0. also so kann ich doch auch schon feststellen, dass es sich hierbei um eine nicht stetige funktion handelt !! also warum dann noch limes anwenden?

das ist der graph
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, nicht so schnell; an der stelle x=0 ist diese funktion nicht definiert, also kann man da gar nicht von (un)stetigkeit sprechen

interessant wirds aber erst, wenn ich die def-lücke künstlich schließe

zum beispiel:
f(x)=sin(1/x) für x ungleich 0
f(0)=0 (künstlich eingefügt)

frage: ist f(x) stetig in 0?

dafür prüfst du z.b., ob sin(1/x) als grenzwert, wenn x gegen 0 geht, auch selbst 0 wird

gilt dann , dann hättest du stetigkiet
PG Auf diesen Beitrag antworten »

warum ist es dann stetig? es wird doch nie den nullpunkt erreichen und daher beginnt der graph dann einfach auf der anderen seite an zu zeichnen :

??? warum ist es nicht der fall? es sind doch keine werte für x=0 definiert,denn null darf doch net im nenner sein...

edit: also der graph berührt nicht den nullpunkt,aber warum redet man hier trotzdem von stetigkeit??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich hätte ein beispiel nehmen sollen, von dem ich den limes kenne Augenzwinkern

ne ma im ernst, natürlich darfst du 0 nicht einsetzen, das habe ich ja gesagt; deswegen stopfe ich es ja von hand, indem ich f(0)=0 vorgebe [f ist also intervallweise definiert]
eine funktion gilt als stetig an der stelle a, wenn (beidsetig, also von "oben" bzw. "unten" annähernd), d.h. hier musst du eben prüfen, ob
dafür bestimmst du die linke seite über grenzwertbetrachtungen, die rechte seite ist ja als 0 gegeben.

in diesem beispiel gilt: existiert nicht (!), deswegen ist f insg. an der stelle 0 unstetig.

alles klar?




z.b. f(x)=x*\sin(1/x), falls x<>0 und f(0)=0 wäre auch "künstlich gestopft"
tatsächlich gilt auch
an der stelle mit dem (!) kommen die grenzwertbetrachtungen ins spiel

diese funktion ist stetig in 0
PG Auf diesen Beitrag antworten »

achsooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooo
die null bedeutet, dass es stetig ab diesem wert ist!! also wie kann ich z.b. hier den grenzwert bestimmen:





und weiter?

JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
die null bedeutet, dass es stetig ab diesem wert ist!!

nicht "ab diesem wert", sondern "an dieser stelle"


zu deiner anderen frage:
hast du eine gebrochenrationale funktion f(x)=z(x)/n(x), und du suchst den grenzwert von x gegen unendlich, so lohnt es sich immer, die höchste insgesamt vorkommende potenz auszuklammern (in zähler UND nenner) und zu kürzen

danach besagen gewisse grenzwertregeln, dass du den grenzwert einzeln berechnen kannst (und dann wieder zusammensetzen)
beachte dazu, dass z.b. wenn du jetzt je x ausklammerst und kürzt der term "2/x" dann gegen 0 geht

versuchs mal
PG Auf diesen Beitrag antworten »

1)
Zitat:
nicht "ab diesem wert", sondern "an dieser stelle"

ich finde es sehr gut, wenn man mich korrigiert smile aber was ist jetzt der große unterschied??

2)ich würde das jetzt so rechnen:






schreibt man das so??

also ist der grenzwert bei ??

das wäre doch die polstelle oder?

3) ich habe eine ganz andere frage. wie schreibt man das unendlich in den intervallklammern so
1--> oder so
2--> und warum?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
1)
Zitat:
nicht "ab diesem wert", sondern "an dieser stelle"

ich finde es sehr gut, wenn man mich korrigiert smile aber was ist jetzt der große unterschied??

Weil man Grenzwerte an einer bestimmten Stelle betrachtet oder für x gegen +- unendlich.

Zitat:
Original von PG
2)ich würde das jetzt so rechnen:


So geht das nicht. Vor allem, was soll x(3) sein? Am besten kürzt du deinen Term:

Von dem 2/x kennt man den Grenzwert für x gegen unendlich. Man darf den dann einsetzen. Warum man das darf, das steht in den einschlägigen Grenzwertregeln.

Zitat:
Original von PG
3) ich habe eine ganz andere frage. wie schreibt man das unendlich in den intervallklammern so
1--> oder so
2--> und warum?

Nummer 2 ist die richtige Schreibweise. Die Zahl unendlich gibt es nicht und kann daher nicht in ein Intervall eingeschlossen werden.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

1)
Zitat:
Weil man Grenzwerte an einer bestimmten Stelle betrachtet oder für x gegen +- unendlich.

was bedeutet stelle? das ist hier die frage. sagt man stelle nur fü x-werte??

2) also lautet es nun




ersten: ist diese schreibweise richtig?
zweitens: das ist doch die asymptote óder?
drittens: es ist stetig an der stelle ,also


3)
Zitat:
Nummer 2 ist die richtige Schreibweise. Die Zahl unendlich gibt es nicht und kann daher nicht in ein Intervall eingeschlossen werden.

wirklich so? ich frage, weil ich das so auch auf einer anderen intnerseite gesehen habe.
ich habe gewusst, dass mein mathelehrer dumm ist... was heisst hier gewusst, er ist dumm!!!.... er sagt, dass die erste variante richig ist, weil man die zahl, die immer größer wird mit einschließt. also z.b. hast du 500000 und schliest es ein,aber es geht ja weiter. das zeichen ist ja unendlich, also schließst du die immer weiter größere werte mit ein.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
2) also lautet es nun

nein Augenzwinkern , sobald du den grenzwert errechnet hast, lässt du das limes weg

[wobei deine aussage nicht falsch ist, denn der rechte grenzwert war ja immer noch 5]

die asymptote ist dann y=5 (waagrechte asymptote)

und ja: "stellen" sind die x-werte
daraus folgt auch, dass f nicht an "W=R/5" (was vermutlich W=IR\{5} sein soll, "ohne" ist \ nicht / und immer mengen ausschließen, deswegen {5}) stetig sein kann, das ist nämlich kein teil des definitionsbereichs (x-werte!)



und: es gibt keine größeren werte als unendlich, zumindest nicht in diesem kontext Augenzwinkern
PG Auf diesen Beitrag antworten »

das limes dient also nur zur berechnung des asymptoten`???????

edit: also ich mein mit dem einschließen des unendlich zeichens(eigentlich meint es mein lehrer), dass das unendlich lang geht und das bedeutet, wenn du 500 einschliest,aber auch 50000 und 1000000000000000000000000000000000000000 und 999999999999999999999999999999999999999999999999999, also alles und es geht immer weiter, daher das einschließen. und was sagt ihr nun?stimmt das?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

bei solchen funktionen dient die grenzbetrachtung x gegen unendlich z.b. für asymptoten, ja

und: die begründung hinkt; natürlich wird jeder wert eingeschlossen, "....,a[" ist ja auch das intervall mit ALLEM <a drin, nur a wird ausgeschlossen
"....,unendlich[" ist also das intervall, dass alles <unendlich (d.h. JEDEN endlichen wert) beinhaltet.
aber unendlich ist keine zahl, das bleibt draußen. basta! smile
PG Auf diesen Beitrag antworten »

loed ich bedanke mich sehr bei dir. endlich kenn ich die grundlage smile smile smile smile smile smile smile smile smile smile smile Big Laugh
vielen danke für die mühe
PG Auf diesen Beitrag antworten »

noch eine aufgabe:
beweise auf stetigkeit!





1)kommt das iin klammer?





2)geht das so zu schreiben??







und weiter? istd ie schreibweise richtig?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, willst du da wirklich auf stetigkeit testen?
oder eher einfach den limes x gegen unendlich berechnen?


zu 1) mit klammern ist es eindeutiger als ohne klammern, könntest sie prinzipiell auch weglassen, aber schreibe ruhig so
zu 2) nein, pass auf; grenzwerte so auseinanderziehen geht nur, "wenn sie existieren"; dabei heißt existieren, dass sie ein reeller wert sind; beim obigen ging das z.b., denn da waren die einzelgrenzwerte 5, 0 und 2

danach gehts auch weiter: einfach weglassen kannst du nicht....
bedenke, beim obigen beispiel hattest du gekürzt....

am besten merkst du dir: bei polynomen betrachtest du für x gegen (-)unendlich nur den term mit der höchsten potenz
PG Auf diesen Beitrag antworten »

0)warum? es ist zwar klar, dass es stetig ist(für uns), aber ich will es nochmal bestätigen oder kann man hier net die stetigkeit beweisen?



1)diesmal richtig?



2) ich kann doch einfach -4 weglassen, da unendlich -4 unendlich ist oder ...?



3)ist dadurch nun die stetigkeit bewiesen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

stetigkeit in einzelnen STELLEN (x-werten) kannst du prüfen
unendlich ist und bleibt kein x-wert; es gibt einfach kein f(unendlich), also kannst du da keine stetigkeit suchen....

mit meinem tipp von oben schreibst du einfach:



Zitat:

hat direkt 3 schwächen

1) wenn du den limes ausgerechnet hast, lässt du das "limes x gegen....." WEG
2) wo kommt "-4" her? das ist +1.....
der teil mit dem -4x hätte auch -unendlich als grenzwert
3) wie war das überhaupt mit dem auseinanderziehen!?
PG Auf diesen Beitrag antworten »

also ist das so nicht bewiesen?

aus deiner aussage würde doch folgen, dass alle polynome stetig sind oder?
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

ja
PG Auf diesen Beitrag antworten »

danke
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
aus deiner aussage würde doch folgen, dass alle polynome stetig sind oder?

das habe ich aber nirgendwo gesagt.....

aber dass eben für jedes a gilt, ist natürlich klar, da ja bei polynomen keine "problemzonen" existieren, das heißt also, dass du einfach a für x einsetzen kannst, um den grenzwert zu bestimmen.

aber ich wüsste trotzdem gerne, aus welcher meiner aussagen du das herausgelesen haben willst verwirrt
Zeta Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Wort zum Unendlichen: das Symbold der "liegenden 8", das man für Unendlich verwendet, steht nicht für eine Zahl, sondern für die EIGENSCHAFT, nicht zu enden!!! Da macht es keinen Sinn, es in ein abgeschlossenes Intervall zu setzen, denn wenn es nicht endet, was soll es dann annehmen (in abgeschlossenen Intervallen wird ja der Endpunkt angenommen)!
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