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\documentclass [a4paper]{article}
\usepackage{german}
\usepackage{dsfont}
\usepackage [latin1]{inputenc}
\begin {document}
\section{Metrische Räume}
\subsection{Definition}
Sei $M$ eine Menge. Eine Metrik auf $M$ ist eine Abbildung
\[ d : M \times M \to \mathds{R}; (x,y) \mapsto d(x,y) \]
mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
	\item $d(x,y)=0$ genau dann, wenn $x=y$,
	\item (Symmetrie) Für alle $x,y \in M$ gilt
	\[ d(x,y) = d(y,x) \]
	\item (Dreiecksungleichung) Für alle $x,y,z \in M$ gilt
	\[ d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) \]
	
\end{enumerate}
Aus 1, 2 und 3 folgt
\[ 0 \leq d(x,x) \leq d(x,y) + d(y,x) = 2d(x,y) \]
für alle $x,y \in M$.\\\\
\indent Ein metrischer Raum ist ein Paar $(M,d)$, bestehend aus einer Menge $M$ und einer Metrik $d$ auf $M$.\\\\
Beispiele:\\
\begin{itemize}
	\item Sei $M$ Menge und
	\[ d(x,y) : M \times M \to \mathds{R}; (x,y) \mapsto \begin{cases} 1, x \neq y \\ 0, x=y \end{cases} \]
\end{itemize}
\end {document}