Konvergenz von Reihen - Seite 2

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01.02.2006, 15:50	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja. Für den Fall -4 < x < 3 konvergiert die Reihe für x < -1/2. Jetzt mußt du (falls noch nicht gemacht) auch die anderen Fälle untersuchen. Wenn ich es richtig sehe, ergeben die keine weiteren Lösungen.
01.02.2006, 16:06	flush	Auf diesen Beitrag antworten »
anderen Fälle? Wann hab ich andere Fälle? Und wie ist das dann, so recht hab ich das nicht kapiert. Hab das nur von einem Beispiel wo ich hab nachvollzogen so. Also wie ich da drauf komm, dass ich die Hälfte davon nehmen muss usw.
05.02.2006, 19:17	flush	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir das nochmal jemand genau erklären? Also ich habe ja: $\begin{eqnarray} \frac{\mid (x+4) \mid}{\mid (x-3) \mid} <1 =\mid x+4 \mid < \mid x-3 \mid \end{eqnarray}$ d.h. für kleiner 1 konvergiert es ja. Nun hab ich ja diese Gleichung, dann kann ich sagen dass aus dem x+4 der Abstand zum x -4 ist und bei x-3 der Abstand zum x 3 ist. Wie kann ich denn dann daraus erkennen dass es die -1/2 sind? Das ist mir noch nicht so richtig klar geworden... und welche anderen Fälle meinst du?
05.02.2006, 19:22	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
klarsoweit hat bis jetzt nur den Fall $\begin{eqnarray} -4<x<3 \end{eqnarray}$ betrachtet und damit die Beträge aufgelöst. Die anderen Fälle wären also $\begin{eqnarray} x\leq -4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\geq 3 \end{eqnarray}$ . Zur ersten Frage: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ liegt genau in der Mitte von $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -4 \end{eqnarray}$ . Natürlich ist es immer besser, das auch rechnerisch nachzuweisen! Wenn du die Beträge beibehältst, brauchst du übrigens auch keine Fallunterscheidung, wie klarsoweit sie gemacht hat. Du musst also die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|x+4\|<\|x-3\| \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auflösen (ohne irgendeine Fallunterscheidung). Da auf beiden Seiten immer nichtnegative Zahlen stehen, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung. Quadiere also die Ungleichung und löse nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auf. Gruß MSS
05.02.2006, 20:10	flush	Auf diesen Beitrag antworten »
ahja ok, jetzt bräucht ich noch den Grenzwert... könnt ich da irgendwie den Grenzwert von der geom. Reihe nehmen?
05.02.2006, 20:13	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich könntest du den nehmen! Gruß MSS
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05.02.2006, 22:18	flush	Auf diesen Beitrag antworten »
d.h. das wäre dann $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-\begin{pmatrix} \frac{x+4}{x-3} \end{pmatrix} }-1 \end{eqnarray}$ die -1 weil die Reihe ja mit 1 anfängt und nicht mit 0, das stimmt so oder?
05.02.2006, 22:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{eqnarray} (-1)^n \end{eqnarray}$ hast du jetzt einfach ignoriert!? Gruß MSS
05.02.2006, 23:05	flush	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, ja... wie zieh ich die dann da mit rein? Du hast das ja schon auf der 2. Seite geschrieben, aber so ganz nachvollziehen kann ich das nicht.
05.02.2006, 23:10	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was kannst du da nicht nachvollziehen? Das ist einfache Anwendung der Potenzgesetze. Gruß MSS
05.02.2006, 23:26	flush	Auf diesen Beitrag antworten »
hm achso ok, aber das -1 könnte man dann auch in den Zähler rein rechnen?! also so dann in etwa ;-) $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-\begin{pmatrix} \frac{-x-4}{x-3} \end{pmatrix} }-1 \end{eqnarray}$
05.02.2006, 23:32	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Jetzt kannst du das ganze natürlich noch wesentlich vereinfachen ... Gruß MSS
05.02.2006, 23:43	flush	Auf diesen Beitrag antworten »
ja klar ok $\begin{eqnarray} \frac{-x-4}{2x+1} \end{eqnarray}$ hätt ich dann
06.02.2006, 00:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jup, ist richtig! Gruß MSS
06.02.2006, 01:24	flush	Auf diesen Beitrag antworten »
noch ne kleine Frage hätt ich, könntest du mir das noch zeigen zu vorher mit der Ungleichung nach x auflösen? Also speziell jetzt ob ich die Betragsstriche beim Rechnen dann weg lassen kann oder wie ich ich das schreib.
06.02.2006, 17:01	flush	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich mit den Betragsstrichen rechne, dann hab ich am Ende normal da stehn $\begin{eqnarray} \mid x \mid <\mid -\frac{1}{2} \mid \end{eqnarray}$ . Das würd ja aber eigentlich nicht stimmen, weil der Betrag von -1/2 ist ja 1/2. Wenn ichs weglasse eben $\begin{eqnarray} x < -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , aber darf ich dann quadrieren wenn ich die weglasse?
06.02.2006, 17:13	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeig doch mal, was du gemacht hast! Dann ist dein Fehler viel schneller und besser aufzudecken. Gruß MSS
06.02.2006, 18:59	flush	Auf diesen Beitrag antworten »
die Beträge weggelassen, also so: $\begin{eqnarray} (x+4)^{2}<(x-3)^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{2}+8x+16<x^{2}-6x+9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 14x<-7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ist das falsch / richtig wenn ich das so mach? Zumindest kommt ja $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ raus
07.02.2006, 19:39	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es stimmt. Für $\begin{eqnarray} x<-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ konvergiert die Reihe gegen den angegebenen Wert. Gruß MSS

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