Konvergenz von Reihen

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Konvergenz von Reihen
Hallo,

habe folgende Aufgaben welche ich auf Konvergenz untersuchen soll:

1)

2)


3) Bei der hier soll ich angeben innerhalb welchem Intervall diese Reihe konvergiert. Und wie der Grenzwert ist für die x für die die Reihe konvergiert.





Allerdings hab ich keine Ahnung wie ich da anfangen soll... Bei der 2. weiß ich nicht mal was das in der Klammer ist. Hoffe ihr könnt mir bisschen Licht ins Dunkle werfen.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Ersten würde ich eine Abschätzung machen, also das Minorantenkriterium benutzen (das waren schon zwei Tipps Augenzwinkern )

Bei der 2. empfiehlt sich das Quotientenkriterium, dass man immer bei Binomialkoeffizienten anwenden sollte.

Bei der 3. würde ich das Wurzelkriterium benutzen.

mfG 20

edit: Rechtschreibung und Grammatik verbessert... noch Fehler drin, Max? Augenzwinkern
 
 
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also zu 1) kann ich sagen? :



und konvergiert für
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

deine abschätzung ist richtig, aber eine konvergente Minorante nützt dir gar nichts. Zu jeder Reihe gibt es so eine.
mfg 20
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ah und was heißt das dann?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

das, was du gemacht hast, heißt gar nichts. schätze auf die harmonische Reihe ab.
mfg 20
flush Auf diesen Beitrag antworten »

also die andere Richtung dann oder? Dann könnte ich ja im Nenner nur auf n abschätzen und im Zahler müsste ich ja dann auf 1 kommen, aber das geht ja nicht weil ich den größer machen muss, dass der Bruch dann kleiner wird.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

nicht in die andere richtung. du brauchst eine divergente minorante. du musst das zeug kleiner machen, aber nicht zu klein Augenzwinkern
mfG 20
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ja aber wenn ich es kleiner machen will muss ich ja den Nenner größer machen und da komm ich ja dann nie auf n allein. Der Nenner wird ja dann immer größer wie vorher.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde so abschätzen, dass du den zähler kürzen kannst, nach dem du den nenner in faktoren zerlegt hast.
mfG 20
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ja ok aber wie zerlege ich denn den Nenner in Faktoren so dass ich das mit dem Zähler dann küzen kann??
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

konkret fällt mir leider grade auch nichts ein, aber du könntest den nenner vorsichtig größer machen, den zähler kleiner, solange, bis du eine nullstelle rauskürzen kannst.
mfG 20
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch deinen Term >1/n setzen und nach n auflösen.
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>1/n setzen und nach n auflösen? Kapier ich net...
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

(2n-3)/(n^2-2n+3) >1/n , nach n auflösen, dann steht da etwa n>x, x e R, dann weißt du ab n>x gilt diese Abschätzung, also hast du eine divergente Minorante ab n>x, und das reicht um die Divergenz der Reihe zu zeigen.

Es geht aber auch so:

für n>=3
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ah, jetzt ok danke. Habs kapiert :-). Jetzt müsst ich nur noch die anderen beiden kapieren... Also die 2) hab ich noch nie gerechnet, also Aufgaben mit Binominalkoeff. Muss ich den Bino. dann in die Fakultätendarstellung bringen und dann mit dem Quotientenkrit. rechnen?
Und bei der 3. kapier ich das mit den x und n nicht so ganz wie das funktionieren soll....
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zur dritten: Sehe das einfach mal als konstant an, dann könnte es dir etwas leichter fallen. Beachte auch:

.

Beim zweiten kannst du den Binomialkoeffizienten direkt ausschreiben:

.

Gruß MSS
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also erst mal zu der mit den Binomialkoeff. So recht kapier ich das nicht mit dem umformen da... kannst du das mir vielleicht noch mal an diesem Beispiel hier erklären:



und dann mit dem Quotientenkriterium lösen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Setz doch erstmal die Definition für den Binomialkoeffizienten ein:

Z.B. ist
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ok passt das so?



und dann kann ich die Doppelbrüche wegmachen und ganz normal mit Nennergrenzwert lösen oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du hast die Definitoin des Binomialkoeffizienten nicht richtig auf angewendet. Und im Nenner war vorher ein (3n-1)². Wenn du das richtig hast, kannst du Doppelbrüche auflösen und kürzen.
flush Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ja natürlich da hab ich mich wieder verguckt. Also das mit dem Auflösen ist dann klar. Dann zurück zu der anderen Aufgabe:

da haben wir ja dann:



Dann das Wurzelkriterium anwenden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wiederhol mich ja ungerne, aber nach wie vor hast du die Definition des Binomialkoeffizienten nicht richtig auf angewendet. Und die Rechnung, mit der du auf dein letztes Ergebnis gekommen bist, solltest du mal hier hinschreiben.
flush Auf diesen Beitrag antworten »

also ok dann eben richtig :-)



das gibt dann wenn man alles verwustelt:





Aber ich meinte jetzt die andere Aufgabe:



Da hab ich dann:



und dann kann ich ja das Wurzelkriterium machen, oder? Nur bei dem Zähler hätt ich dann meine Probleme wie ich das auflösen soll.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flush
Da hab ich dann:


und dann kann ich ja das Wurzelkriterium machen, oder?

Ja, ok, das stimmt dann. Du kannst Wurzelkriterium oder Quotientenkriterium machen. Den Zähler brauchst du nicht groß umformen. Es kommt ja nur auf den Grenzwert an.
flush Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn dann der Grenzert von:

??

Also bei dem hoch n kann ich ja die Wuzel ziehen, dann hab ich 1/5. Der Nenner geht gegen 1 und beim Zähler wüsst ich jetzt net wie ich da nen Grenzwert mach.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Mit ein paar Umformungen geht es im wesentlichen um
Der sollte aber bekannt sein.
flush Auf diesen Beitrag antworten »

ja mit den Umformungen hab ichs immer, vor allem mit so exotischen Sachen wie Wurzeln und Binominalkoeff. Mit den Exponenten blick ichs mittlerweile... :-) Ja den Grenzwert kenn ich schon der geht auch gegen 1. Nur wie form ich das jetzt um... Bei + darf ich ja die Wuzel nicht auseinander nehmen wie bei *
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Schlimmstenfalls nimm so kraße Abschätzungen wie 1 < 3n + 1 < 4n für genügend großes n.
flush Auf diesen Beitrag antworten »

d.h. dann so viel wenn ich für die n-te Wurzel aus 1 und auch die n-te Wurzel aus 4 mal die n-te Wurzel aus n beides mal den Grenzwert 1 raus bekomm (was auch so ist), dann geht auch 3n+1 gegen 1 ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Rock
Da gibt es einschlägige Grenzwertsätze. Z.B.:
Wenn für zwei Folgen gilt: und es ist , dann ist auch
flush Auf diesen Beitrag antworten »

also geht das ganze gegen 1/5 oder? Ist das denn dann der Grenzwert von der Reihe oder heißt das nur dass die Reihe konvergiert da 1/5<1 ist nach dem Wurzelkriterium.

Weil Mupad sagt, dass gegen 0 geht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flush
also geht das ganze gegen 1/5 oder?

Ja, wenn du mit "das ganze" die Folge verstehst.

Zitat:
Original von flush
Ist das denn dann der Grenzwert von der Reihe

Nein.

Zitat:
Original von flush
oder heißt das nur dass die Reihe konvergiert da 1/5<1 ist nach dem Wurzelkriterium.

Ja. Freude
flush Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
[quote]Original von flush
also geht das ganze gegen 1/5 oder?
Ja, wenn du mit "das ganze" die Folge verstehst.


hmm?! Also wenn ich´s als Folge betrachte dann müsste das von Mupad ja stimmen also 0 als Grenzwert (weil geht bei Folgen ja gegen 0), da darf man das Wurzelkriterium ja gar nicht anwenden oder? Und als Reihe geht das mit dem Wurzelkriterium dann gegen 1/5 (also nicht als Grenzwert)

Zitat:
Original von flush
Ist das denn dann der Grenzwert von der Reihe
Nein.


Wie krieg ich den raus?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flush
hmm?! Also wenn ich´s als Folge betrachte dann müsste das von Mupad ja stimmen also 0 als Grenzwert (weil geht bei Folgen ja gegen 0), da darf man das Wurzelkriterium ja gar nicht anwenden oder? Und als Reihe geht das mit dem Wurzelkriterium dann gegen 1/5 (also nicht als Grenzwert)

Tschuldigung, hatte mich etwas unklar ausgedrückt. Nach Anwendung des Wurzelkriteriums auf den Folgenterm der Reihe erhältst du eine Folge, die gegen 1/5 konvergiert. Damit ist die Bedingung des Wurzelkriteriums erfüllt und die Reihe konvergiert. Der Folgenterm der Reihe selbst muß notwendigerweise gegen Null konvergieren, damit die Reihe überhaupt konvergieren kann. Den Wert der Reihe kann ich nicht sagen, da muß ich passen. Vielleicht hat jemand anders eine Idee. Augenzwinkern
flush Auf diesen Beitrag antworten »

ok! Den Grenzwert brauch ich auch nicht unbedingt. Hat mich nur interessiert...
Dann hab ich jetzt noch diese Aufgabe hier:



Kann ich da gleich Wurzelkriterium nehmen?

Dann komm ich mal zu dem hier:

und das ist ja nur kleiner 1 für x= -1 bis -unendlich, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da mußt du nochmal nachrechnen. Also x=-0,9 tut es auch.
flush Auf diesen Beitrag antworten »

hm ja ok, wie rechne ich das am geschicktesten, habs nur ausprobiert, was klappen könnte...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es mit einer Fallunterscheidung?
1. Fall: -4 < x < 3.
flush Auf diesen Beitrag antworten »

ahja ok, wie finde ich dann ab wann die Reihe konvergiert? -4+3=-1 und davon die Hälfte dann also -1/2. Dann konvergiert die für alles kleiner -1/2?
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