Volumenberechnung per Integral

27.01.2006, 19:06	Rubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenberechnung per Integral Hab grad so ein sehr grobes Verständnisproblem bezüglich der Volumenberechnung mit einem Integral. In jedem Buch und in jedem Skript steht was anderes und ich checks langsam nimma. Einmal wird das Volumen mit einem Integral und f²(x) berechnet, dann mit einem Doppelintegral mit 1 oder f(x) und dann wieder mit einem Dreifachintegral. Die genaue Umrechnung der Grenzen und der Funktion in Polarkoordinaten ist mir auch nicht ganz klar. Zum Beispiel hab ich hier die Funktion z=sin(x). Die Fläche zwischen 0 und pi soll einmal um die z-achse gedreht werden. Brauch ich da Polarkoordinaten? Wenn ja, wenn ich sin(x) umrechne, dann bekomm ich ja sin(r*cos(phi)). Das wär ja ziemlich doof zum integrieren
27.01.2006, 21:42	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Also mit $\begin{eqnarray} \pi \int_{b}^{a}~f^2(x)~dx \end{eqnarray}$ ist ein Volumen gemeint, welches durch Rotation entsteht. Mehrfachintegrale (Satz von Fubini) sind was ganz anderes, da wird nämlich einfach das n-dimensionale Volumen in n verschiedene Dimensionen aufgesplittet. Beispiel: $\begin{eqnarray} \int_{Z}^{}~xy~dV = \int_{a}^{b}x( \int_{c}^{d}y~dy)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\in[a,b], y\in[c,d] \end{eqnarray}$ Wegen Transformation in Polarkoordinaten in dem Zusammenhang muss ich mich selber noch schlau machen.
28.01.2006, 12:35	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Polarkoordinaten Moin,moin, Also bei der Aufgabe sin z um die z-Achse zu rotieren macht nur $\begin{eqnarray} \pi \int_{b}^{a}~f^2(x)~dx \end{eqnarray}$ einen Sinn. Allgemein macht eine Umrechnung in Polarkoordinate eigentlich nur Sinn wenn eine Funktion eine um einen Ursprung geschlossene Kurve beschreibt, z.B. Kreise, Spiralen, Zykloide u.s.w. denn eine Funkt. wie Sinus oder e^x z.B. entfernen sich horizontal bzw. vertikal vom Ursprung weg (Radius --> Unendlich) wobe der Winkelausschitt immer kleiner wird. (beim Sinus wäre die Polardarstellung nicht mal eindeutig) Aber wenn´s um Kugeln, Kreise, Spiralen etc. geht, kannst du vor dem Integrieren in Polarkoordinaten transformieren, und dann über die neuen Koordinaten integrieren. Die Integrationsgrenzen transformierst du genau wie die neuen Variablen selbst. Z.B. Mit $\begin{eqnarray} x ~ = ~ r ~ cos \varphi ~ , y ~ = ~ r ~ sin \varphi ~ , ~ r =\sqrt{x^2+y^2} , \varphi=tan^{-1}\frac{y}{x} \end{eqnarray}$ gilt dann $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~f(x)~dx \Rightarrow \int_{\alpha =tan^{-1}\frac{f(a)}{a}}^{\beta =tan^{-1}\frac{f(b)}{b}}f(\varphi)~d\varphi \end{eqnarray}$ mfg, phi
28.01.2006, 15:05	Rubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was, wenn ich den Körper nicht um 360° drehe, sondern z.B. nur 180°? also ich bin mir ziemlich sicher, dass wir in irgend einer Vorlesung das Volumen eines Rotationskörper auch mal mit einem Doppel- oder Dreifachintegral berechnet haben

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