Beweisidee gesucht (Lineare Abbildungen)

22.05.2008, 20:13

blub85

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Beweisidee gesucht (Lineare Abbildungen)

Servus!

Aufgabe lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} f:V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W. Beweisen sie:

a) Ist $\begin{eqnarray*} f: V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ bijektiv, so ist auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}: W \rightarrow V \end{eqnarray*}$ linear.

Könnt ihr mir einen Tip geben, wie ich das beweisen aknn?? Ich habe schon mehrere Richtungen probiert, kam damit aber nie auf einen grünen Zweig.

Danke!

22.05.2008, 20:15

therisen

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Du musst eben zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung ist. Weise die Definition nach. Wo liegt das Problem?

22.05.2008, 20:22

tmo

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Noch ein Tipp: Nutze aus, dass zu jedem $\begin{eqnarray*} a \in W \end{eqnarray*}$ eindeutig ein $\begin{eqnarray*} a_1 \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a_1) = a \end{eqnarray*}$ existiert.

Fange mit

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(a)+f^{-1}(b) \end{eqnarray*}$

und forme das etwas um.

22.05.2008, 20:46

blub85

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mh, ich versteh nicht wirklich wie ich das zeigen kann, dass gilt

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(a) + f^{-1}(b) = f^{-1}(a+b) \end{eqnarray*}$

da ich ja keine konkrete Funkton gegeben habe, mit der ich das zeigen kann...

Also muss ich das ganze wohl mit der Bijektivitäüt von f begründen, ne?!

Was mir einfält wäre:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(y_1) + f^{-1}(y_2) = x_1 + x_2 = f^{-1}(y_1+y_2) \end{eqnarray*}$

Dies dann begründen, dass diese Gleichung eindeutig ist, da f bijektiv ist?!

Was meint ihr dazu?

danke für eure hilfe!

22.05.2008, 20:47

tmo

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Zitat:

Original von blub85
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(y_1) + f^{-1}(y_2) = x_1 + x_2 = f^{-1}(y_1+y_2) \end{eqnarray*}$

Genau so geht das. Allerdings fehlen einige Zwischenschritte.

22.05.2008, 20:59

blub85

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mh, so etwa:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(y_1)+f^{-1}(y_2) = f^{-1}(f(x_1))+f^{-1}(f(x_2))=x_1+x_2=f^{-1}(f(x_1+x_2)) = f^{-1}(y_1+y_2) \end{eqnarray*}$

???

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22.05.2008, 21:01

tmo

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du solltest noch einen vorletzten Schritt einfügen, bei dem du $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x_1+x_2)) = f^{-1}(f(x_1)+f(x_2)) \end{eqnarray*}$ (Was ja aufgrund der Linearität von f gilt) schreibst.

Sonst ist es richtig Freude

Freude

22.05.2008, 21:02

blub85

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hey, *jubel*!

super!

den schritt hatte ich mir auch gedacht.. Allerdings ist f bijektiv, ist damit automatisch f auch linear??? Ich ging davon aus, dass dies nicht automatisch der fall ist?!

DANKE für Deine hilfe!1

22.05.2008, 21:03

tmo

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RE: Beweisidee gesucht (Lineare Abbildungen)

Zitat:

Original von blub85

Aufgabe lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} f:V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W.

Aufgabe genau durchlesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.05.2008, 21:04

blub85

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mmmmh...

Big Laugh

stimmt, Du hast recht! wer lesen kann ist klar im vorteil Augenzwinkern

Augenzwinkern

okay, ich mach mich mal an die weiteren Beweise dran, melde mich dann späternoch einmal zur Kontrolle der aufgaben...

danke! Wink

Wink

22.05.2008, 21:06

tmo

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Ich weiß nicht genau, was du mit den weiteren Beweisen meinst. Also ob du weitere Aufgaben auf deinem Zettel meinst, oder ob dir bewusst ist, dass du noch $\begin{eqnarray*} c \cdot f^{-1}(x) = f^{-1}(cx) \end{eqnarray*}$ beweisen musst.

22.05.2008, 21:08

blub85

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ja, das kam mir gerade.. meinte weitere Beweise dieser Art auf meinem Übungsblatt, aber erstmal mach ich mich an die zweite Bedingung der linearen Abbildung (die Du genannt hattest) dran.

werde mich melden..

22.05.2008, 22:10

blub85

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hey, also ich konnte noch 2 weitere beweise führen... bin darüber erstmal sehr glücklich smile

smile

Jetzt hänge ich aber noch an folgenden zweien:

I) Sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,...,v_n \in V \end{eqnarray*}$ linear abh., so sind auch ihre Bilder $\begin{eqnarray*} f(v_1),f(v_2),..,f(v_n) \in W \end{eqnarray*}$ linear abh.

II) Ist f injektiv, so sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ genau dann linear (un-)abh., wenn ihre Bilder $\begin{eqnarray*} f(v_1),f(v_2),..,f(v_n) \end{eqnarray*}$ lin (un-)abhängig sind.

Hat jemand einen Tip für mich??

edit: f ist wie oben: $\begin{eqnarray*} f:V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ und f linear

22.05.2008, 22:17

tmo

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Zu I)

Mindestens ein Vektor aus $\begin{eqnarray*} v_1,\dotsc ,v_n \end{eqnarray*}$ lässt sich als Linearkombination der Anderen darstellen. o.B.d.A sei dies $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ .

Also gibt es $\begin{eqnarray*} r_2, \dotsc , r_n \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} v_1 = r_2v_2+ \dotsb + r_nv_n \end{eqnarray*}$

Nun folgere daraus, dass sich $\begin{eqnarray*} f(v_1) \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} f(v_2), \dotsc , f(v_n) \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.

Zu II)

Jeweils eine Richtung (jenach dem ob man unabhängig oder abhängig betrachtet) hast du schon in I) bewiesen, dazu muss f nicht injektiv sein.

Zu Beweisen ist nur noch:
Wenn $\begin{eqnarray*} v_1 , \dotsc , v_n \end{eqnarray*}$ linear unabh. sind, dann sind auch $\begin{eqnarray*} f(v_1), \dotsc , f(v_2) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.
Betrachte dazu das LGS:
$\begin{eqnarray*} r_1f(v_1) + \dotsb + r_nf(v_n)=0 \end{eqnarray*}$
und zeige, dass $\begin{eqnarray*} r_1= \dotsc = r_n = 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

22.05.2008, 22:23

blub85

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Zitat:

Original von tmo
Nun folgere daraus, dass sich $\begin{eqnarray*} f(v_1) \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} f(v_2), \dotsc , f(v_n) \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.

Danke dafür! Soweit war ich bei der I) auch gekommen, nur gelingt es mir nicht das im Zitat angegebene zu zeigen.. verwirrt

verwirrt

22.05.2008, 22:24

tmo

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Wende doch auf die Gleichung, die darüber steht erstmal f an. Und dann musst du nur benutzen, dass f linear ist.

22.05.2008, 22:29

blub85

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mh, stimmt.... *sichaufdiestirnschlag*

also,

$\begin{eqnarray*} v_1 = r_2v_2+...+r_nv_n \end{eqnarray*}$

f angewendet:

$\begin{eqnarray*} f(v_1) = f(r_2v_2)+...+f(r_nv_n) = r_2 f(v_2)+...+r_n f(v_n) \end{eqnarray*}$

Damit müsste I) gezeigt sein, ne?! smile

smile

sich an die II) ran mach

Danke für die Hilfe!

22.05.2008, 22:31

tmo

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Du hast den ersten Schritt unter den Tisch gekehrt.

22.05.2008, 22:34

blub85

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mh, das versteh ich leider gerade nicht.. was meinst Du damit?

etwas, dass $\begin{eqnarray*} f(v_1) = a_2f(v_2)+....+a_nf(v_n) \end{eqnarray*}$ gelten muss?!

22.05.2008, 22:35

tmo

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Wenn du f anwendest, steht da doch erstmal

$\begin{eqnarray*} f(v_1) = f(r_2v_2 + \dotsb + r_nv_n) \end{eqnarray*}$

Dann kommt erst dein nächster Schritt, welcher durch die Linearität von f begründet wird.

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