Satz über implizite Funktionen durch Monotonie beweis

28.01.2006, 00:19	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz über implizite Funktionen durch Monotonie beweis Hallo, Man beweise den Satz über implizite Funktionen für den Spezialfall einer 1-dimensionalen Mannigfaltigkeit (n=1) und einer Gleichung f(x,y)=0 (r=1) unter Verwendung des Resultates, dass f(x,.) monoton ist, falls $\begin{eqnarray} ~ \frac{\partial f(x,.)}{\partial y} ~ \end{eqnarray}$ nicht verschwindet. Also aus der Monotonie folgt das wenn $\begin{eqnarray} (x_0, y_0) \end{eqnarray}$ eine Lösung von $\begin{eqnarray} f (x_0, y_0) =0 \end{eqnarray}$ ist, dass auch in einer offenen Umgebung U von $\begin{eqnarray} (x_0, y_0) \end{eqnarray}$ in IR² und eine offene Umgebung W in IR und eine differenzierbare Abb. $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ existiert, so dass 1. die Gleichung f(x,y)=0 für jedes x aus W genau eine Lösung y aus IR besitzt mit (x,y) Teilmenge von U wobei y durch $\begin{eqnarray} y=\varphi(x) \end{eqnarray}$ gegeben ist, und 2. die Ableitung $\begin{eqnarray} \varphi_x(x)=-f_y^{-1}f_x \end{eqnarray}$ (Wobei $\begin{eqnarray} f_y:= ~ \frac{\partial f}{\partial y} ~ und ~ f_x:= ~ \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray}$ ) Stimmt das so? Danke schonmal, phi.
29.01.2006, 21:24	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz über implizite Funktionen durch Monotonie beweis Du hast erstmal die Behauptung nochmal formuliert, soweit ok. Einen Beweis sehe ich da noch nicht. Wie folgt denn die Auflösbarkeit nach y in dieser Umgebung genau aus der Monotonie? Da muss wohl auch Stetigkeit/Differenzierbarkeit als Voraussetzung noch eingehen. Grüße Abakus
29.01.2006, 22:00	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Die Mannigfaltigkeit wird natürlich als s-mal differenzierbar vorausgesetzt, was ich der Übersichtlichkeit wegen unterschlagen hab. Ausserdem ist strenge Monotonie vorausgesetzt. Also für festes $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ gälte wegen der Monotonie $\begin{eqnarray} f(x_0-r,y_0)< f(x_0,y_0)=0< f(x_0+r,y_0) \end{eqnarray}$ für r aus dem offenen Intervall W (Teilmenge von IR) Genau hier komm ich aber nicht weiter wie ich formulieren kann dass wenn man $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ variiert, dann auch f(x_0-r,y_0+p)=0 bzw. f(x_0-r,y_0+q)=0 gilt für geeignete p und q. Wie schlägt man da die Brücke? Dank & mfg, phi

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »