Konvergenz einer Reihe

22.05.2008, 23:28	Jordan13	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe Hallo, komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Kann mir da einer helfen? Wie soll ich den Grenzwert einer Reihe ausrechnen, die einen sinus drin hat? Hätte es jetzt mit dem Quotientenkriterium versucht, komme aber nicht weiter.. $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{2n+nsin(n)} \end{eqnarray*}$ Vielen Dank!
22.05.2008, 23:29	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} 2n+n \cdot \sin (n) \leq 3n \end{eqnarray}$
22.05.2008, 23:50	Jordan13	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, soll ich dann den Grenzwert von $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{3n} \end{eqnarray}$ berechnen? Wenn ja, wieso kann ich dann damit Rückschlüsse auf die Konvergenz der alten Reihe ziehen?
22.05.2008, 23:50	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: harmonische Reihe.
22.05.2008, 23:58	Jordan13	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, komm ich nicht drauf.
23.05.2008, 00:02	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du denn das Minorantenkriterium?
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23.05.2008, 00:08	Jordan13	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, kenn ich nicht.. Gibts keine andere Möglichkeit die Aufgabe zu lösen?
23.05.2008, 00:13	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann es sein, dass du das Minorantenkriterium nicht kennst, wenn das Quotientenkriterium nur eine Folgerung aus diesem ist? Denn dieses kennst du ja. Schau mal hier.
23.05.2008, 22:18	Jordan13	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das so? $\begin{eqnarray} S2=\sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{3^n} \end{eqnarray}$ Konvergenzkriterium (Quotientenkriterium): $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{3^{n}}{3^{n+1}} = \lim_{n \to \infty } \frac{3^{n}}{3^{n}3} =\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Da nun für alle n gilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2n+nsin(n)} \leq \frac{1}{3n} \end{eqnarray}$ konvergiert auch die Folge: $\begin{eqnarray} S1=\sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{2n+nsin(n)} \end{eqnarray*}$
23.05.2008, 22:27	Jordan13	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann noch eine weitere Aufgabe mit ähnlicher Aufgabenstellung: $\begin{eqnarray} S1=\sum_{n=1}^\infty ~\frac{n²}{(2+\frac{cos(nx)}{2} )^n} \end{eqnarray}$ Da gilt: $\begin{eqnarray} \frac{n²}{(2+\frac{cos(nx)}{2} )^n}\leq \frac{n²}{(2,5 )^n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{(n+1)²}{(2,5 )^{n+1}}}{\frac{n²}{2,5^n}} =\lim_{n \to \infty }\frac{n²+2n+1}{2,5n²} =\frac{1}{2,5} \end{eqnarray}$ Konvergiert auch S1?
24.05.2008, 12:07	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist selber schuld, dass dir keiner antwortet. Man mag es hier nicht, wenn Tipps ignoriert werden und wenn man einfach null Einsatz von Fragestellers Seite bemerken kann.

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