Grenzwert

28.01.2006, 13:20

speedyschmidt

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Grenzwert

Wie würdet ihr den folgenden Grenzwert bestimmen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}-2cos(x)}{\sqrt{2}-2sin(x)} \end{eqnarray*}$

Ich hab schon versucht zu substituieren, und versucht binomische Formeln durch Erweitern zu erstellen. Es hat aber leider nichts geklappt.

Danke für eure Hilfe

speedy

28.01.2006, 13:25

Frooke

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Da $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}-2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \end{eqnarray*}$

ergibt Dir das $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

=> Satz von de l'Hospital.

28.01.2006, 13:26

MrPSI

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es gibt da so eine Regel von L'Hospital:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

Hast du die schon probiert?

28.01.2006, 13:27

speedyschmidt

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Gilt die Regel denn immer???

Gehts nicht auch ohne diesen Satz???

28.01.2006, 13:28

sqrt(2)

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Es reicht völlig, mit Hilfe der 3. binomischen Formel entsprechend zu erweitern.

28.01.2006, 13:29

speedyschmidt

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aha!

Den Zähler oder den Nenner?

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28.01.2006, 13:30

Frooke

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Doch, kürze sqrt(2) weg und danach 3. bin. Formel Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Huch viel zu spät: Und @sqrt(2):

Zitat:

Original von Frooke
kürze sqrt(2) weg

ist nicht gegen Dich Big Laugh

Big Laugh

28.01.2006, 13:31

Spooner

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?????????????
Erweitern!!!!!!!!!

Wurzel 2 kürzen??? Meine Lehrerin pfelgt zu sagen: Aus Differenzen und Summen / kürzen nur die Dummen"...

28.01.2006, 13:31

sqrt(2)

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Zähler oder Nenner ist hier völlig egal.

28.01.2006, 13:31

speedyschmidt

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Ich kann doch nicht aus ner Differenz kürzen!

28.01.2006, 13:32

sqrt(2)

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So hat Frooke das auch nicht gemeint, da bin ich mir ziemlich sicher.

28.01.2006, 13:36

speedyschmidt

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jetzt komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}}\frac{2-4cos(x)^2}{(\sqrt2-2sin(x))(\sqrt{2}+2cos(x))} \end{eqnarray*}$

und nun???

28.01.2006, 13:40

sqrt(2)

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Das ist falsch, wie kommst du darauf? (Wäre es richtig, müsstest du übrigens nur noch einsetzen.)

28.01.2006, 13:42

speedyschmidt

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ich habe einfach nur mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+2cos(x) \end{eqnarray*}$ erweitert

28.01.2006, 13:43

Spooner

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Edit: Verkuckt!

28.01.2006, 13:44

speedyschmidt

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hab ich doch gemacht, oder nicht?

Ich seh gar nicht mehr durch!

Was soll ich denn nun machen??? Hilfe

Hilfe

28.01.2006, 13:51

Spooner

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$\begin{eqnarray*} \begin {aligned} \frac{\sqrt{2}-2\cos(x)}{\sqrt{2}-2\sin(x)} &= \frac{\sqrt{2}-2\cos(x)}{\sqrt{2}-2\sin(x)} \cdot \frac{\sqrt{2}+2\cos(x)}{\sqrt{2}+2\cos(x)} \\ &= \frac{2-4\cos(x)^2}{2+2\sqrt{2}\cos(x)-2\sqrt{2}\sin(x)-4\cos(x)\sin(x)} \end {aligned} \end{eqnarray*}$

28.01.2006, 13:52

speedyschmidt

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das hab ich auch so!

Hast dir also ganz umsonst die Mühe gemacht!

Was aber soll ich jetzt machen???

Vielleicht Trigonometrischer Phytagoras im Zähler und dann irgendwie sinus ausklammern???

28.01.2006, 13:53

Spooner

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Kannste denn jetzt eventuell PI/4 einsetzen?

28.01.2006, 13:54

sqrt(2)

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Entschuldige, ich habe mit der falschen Ausgangsfunktion gerechnet (nämlich ohne die Zweien vor Sinus und Kosinus).

Was besseres als L'Hospital fällt mir im Moment auch nicht ein.

28.01.2006, 13:55

speedyschmidt

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Nein kann ich nicht!
Denn $\begin{eqnarray*} 0 * irgendwas=0 \end{eqnarray*}$

28.01.2006, 13:58

Spooner

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Siehste! Wer hat sich nun umsonst die Mühe gemacht??? Klo

Klo

28.01.2006, 13:59

speedyschmidt

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Na wir beide! Prost

Prost

Trotzdem scheint es nicht ohne L'Hospital zu gehen

Wenn ich Werte in der Nähe von $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ eingebe, komme ich komischer Weise auf rund -1. Wenn ich aber L'Hospital anwende, komme ich auf 1!!! Was ist denn jetzt richtig?

[Edit] Laut Graph ist es -1

Also ist L'Hospital hier nicht anwendbar???!!!???

28.01.2006, 14:17

sqrt(2)

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Doch, L'Hospital ist hier anwendbar. Du scheinst einen Vorzeichenfehler gemacht zu haben. Hast du bedacht, dass $\begin{eqnarray*} \cos'(x)=-\sin(x) \end{eqnarray*}$ ?

28.01.2006, 14:19

Spooner

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doch aber cos ' = sin, sin ' = ----- cos !!

28.01.2006, 14:19

speedyschmidt

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Ach wie dumm!

Ne ich habs gar nicht abgeleitet.
Ich hab einfach nur die Wurzel durchgestrichen und dann die -2 gekürzt. Die Trgonometrischen Funktionen hab ich gar nicht beachtet!

Danke!

Jetzt bleibt nur noch die Frage, ob es auch ohne geht

@spooner Du hast dich vertan! Umgekehrt!

[Edit] Nr.100 Tanzen

Tanzen

28.01.2006, 14:40

sqrt(2)

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Zitat:

Original von speedyschmidt
Jetzt bleibt nur noch die Frage, ob es auch ohne geht

Man kann deinen Ausdruck zu $\begin{eqnarray*} -\tan\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{8}\right) \end{eqnarray*}$ umformen, darauf bin ich jetzt allerdings rückwärts gekommen.

29.01.2006, 18:26

speedyschmidt

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wie jetzt???

Was heißt hier rückwärts???

29.01.2006, 19:59

sqrt(2)

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Ich habe vom Plot deiner Funktion auf die Umformung geschlossen.

29.01.2006, 20:53

speedyschmidt

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Die Funktionen liegen aber gar nicht Deckungsgleich übereinander. Das kann glaub ich nicht hinhauen!

Bei mir klappts mit $\begin{eqnarray*} tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi*5}{8}) \end{eqnarray*}$

das reicht doch aber nicht, um zu beweisen, dass es die selbe Funktion ist, oder???

29.01.2006, 20:58

sqrt(2)

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Zitat:

Original von speedyschmidt
Die Funktionen liegen aber gar nicht Deckungsgleich übereinander.

Doch.

29.01.2006, 23:33

speedyschmidt

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Ok verkuckt!

sinus und cosinus vertauscht!

Das ist doch aber keine Methode um nen Grenzwert rauszufinden, oder???

30.01.2006, 00:22

sqrt(2)

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Wenn du nachweisen kannst, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}-2\cos x}{\sqrt{2}-2\sin x}=-\tan\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{8}\right) \end{eqnarray*}$ , dann hast du eine Umformung gefunden, in die du nur noch einzusetzen brauchst, denn $\begin{eqnarray*} -\tan\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{8}\right) \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ definiert.

30.01.2006, 00:38

speedyschmidt

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hast du es denn hingekriegt mit dem Nachweisen oder noch garnicht probiert?

30.01.2006, 00:47

sqrt(2)

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Ich war zu faul dazu... Big Laugh

Big Laugh

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