Stetigkeit und Vektorraum

28.01.2006, 13:22

Sheli

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Stetigkeit und Vektorraum

Hallo!

Ich habe eine Aufgabe bekommen, bei der ich nicht weiterweiss. Würd mich freuen, wenn mit da jemand helfen könnte.

Sei (X,d) ein metrischer Raum, $\begin{eqnarray*} x_0 \in X \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f \in V \end{eqnarray*}$ <=> f: X -> R , f stetig in x_0

Ist V ein Vektrorraum über R? Kurze Begründung!

heißt das, dass man das auch schreiben könnte als $\begin{eqnarray*} f: X -> V \end{eqnarray*}$ ? Wobei V teilmenge von R.

zur Definition eines Vektrorraumes habe ich das hier gefunden
Ein Vektorraum ist eine Menge, deren Elemente sich addieren und skalarmultiplizieren lassen, wobei die Summe von Vektoren und das Vielfache eines Vektors wieder Elemente der Menge sind. Die Elemente so eines Vektorraumes sind (heißen) Vektoren.

Aber ich weiss echt nicht wie ich das auf die Aufgabe beziehen soll. Hilfe

Hilfe

28.01.2006, 14:02

JochenX

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RE: Stetigkeit und Vektorraum

Zitat:

Original von Sheli
$\begin{eqnarray*} f: X -> V \end{eqnarray*}$ ? Wobei V teilmenge von R.

nein, V ist eine Menge von reellen Funktionen, nicht selbst eine reelle zahl.

Zitat:

zur Definition eines Vektrorraumes habe ich das hier gefunden
Ein Vektorraum ist eine Menge, deren Elemente sich addieren und skalarmultiplizieren lassen, wobei die Summe von Vektoren und das Vielfache eines Vektors wieder Elemente der Menge sind. Die Elemente so eines Vektorraumes sind (heißen) Vektoren.

eine stark vereinfachte darstellung Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber ist schon richtig:
da hier nichts näher dazu erläutert ist, nimmt man die verknüpfungen des vektorraums aller reellen funktionen, nämlich (f+g)(x)=f(x)+g(x), (a*f)(x)=a*f(x)

nun musst du zeigen, dass V ein unterraum von dem obigen raum aller polynome ist (bzw. widerlegen!?)

zeige zunächst, dass V nichtleer ist (!), ganz wichtig
nimm dann zwei beliebige funktionen f,g in V und einen skalar a in IR
dann muss f+g und a*f auch wieder in V liegen

sind diese 3 bedingungen erfüllt hast du einen unterraum und somit selbstvektorraum

28.01.2006, 15:59

Sheli

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Danke erstmal für die schnelle antwort :-)

Also wenn ich jetzt zeigen will, dass V nicht leer ist dann könnte ich doch sagen, dass nach Voraussetung x_0 in X liegt => f(x_0) liegt in V und somit der der V schonmal nicht leer.

Und dann hab ich noch ne Frage zu den beiden anderen Bedinungen, die man zeigen muss. Soll ich wirklich zwei konkrete Funtkionen wählen? Oder geht das auch allgemein. Ich müsste ja eigentlich auch die Vorraussetzung nutzen, dass f in X_0 stetig ist. Weiss nur nicht wo genau.

28.01.2006, 16:04

JochenX

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Zitat:

dass nach Voraussetung x_0 in X liegt

NEIN, X enthält reelle FUNKTIONEN, keine reellen WERTE, siehe oben

aber es gibt natürlich funktionen, die an jeder Stelle stetig sind, insb. auch in x0
z.b. jedes Polynom liegt in X, also ist X nichtleer
(gib z.b. einfach ein Polynom an, vielleicht f(x)=5; das ist stetig in x0)

zu den anderen Beweisen musst du das MIT ALLGEMEINEN f,g, und a machen
denn das soll FÜR ALLE gelten

28.01.2006, 16:09

Sheli

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Mir fällt da gerade noch was ein, bin mir aber nicht sicher obs stimmt.
Ich meine wir hatte mal vor langer Zeit diese Definition
f: X -> X
f abgeschlossen <=> f stetig in einem Punkt

f ist ja nach Vorraussetzung stetig in x_0 => f abgeschlossen ist , dann müsste doch V ein Vektorraum sein, da ja dann die beiden letzten Begingungen wegen der Abgeschlossenheit erfüllt wären.

28.01.2006, 16:52

JochenX

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das kann ich nicht nachvollziehen, da ich nicht weiß, was "abgeschlossenheit einer funktion" heißen soll !?
viellicht können dazu unsere analytiker mehr sagen verwirrt

verwirrt

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28.01.2006, 17:57

Lord Pünktchen

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Soviel ich weiß ist f dann nicht abgeschlossen.

Satz: Sei f:G->X stetig diffbar und f'(x) für alle x aus G invertierbar,
dann ist f offen etc.

D.h. f ist dann offen, auch wenn f in einem Punkt stetig ist... oder so!

28.01.2006, 19:02

Sheli

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hmm. weiss auch nicht.

am besten ich mach das so wie LOED gesagt hat, aber wie man das macht ist eine andere frage. Denn ich kann ja nicht einfach sagen dass $\begin{eqnarray*} f\cdot g(x+y) \in V \end{eqnarray*}$ ist. Habs jetzt hin und her probiert aber komm nicht drauf wie man sowas macht. unglücklich

unglücklich

28.01.2006, 20:09

JochenX

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Zitat:

Original von Sheli
Denn ich kann ja nicht einfach sagen dass $\begin{eqnarray*} f\cdot g(x+y) \in V \end{eqnarray*}$ ist.

verwirrt

komische formulierung

du musst zeigen, dass f+g stetig in x0 ist
bilde dazu den grenzwert x gegen x0 von (f+g)(x), das ist ja definiert als f(x)+g(x), die sind aber stetig in x0, weil in V
aaalso.....

30.01.2006, 15:27

Sheli

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Also neuer Anlauf :-)

Ich bin mit dieser Aufgaben einfach überfordert.

Man bildet jetzt also den Grenzwert von (f+g)(x), also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} (f+g)(x)=\lim_{x \to x_0} (f)(x)+\lim_{x \to x_0} (g)(x) = ? \end{eqnarray*}$

und was kommt daraus oder eher wozu macht man das überhaupt? unglücklich

unglücklich

30.01.2006, 16:48

Ace Piet

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Nach der Definition...
> (f+g)(x)=f(x)+g(x), (a*f)(x)=a*f(x) : Loed-Vorschlag

...überlege man sich zunächst, welcher (simple) Vektorraum dieses V umfasst,etwa A:= { f: X -> R | ohne weitere Einschränkungen}.

Für die Nullfunktion o := X -> R; o(x) = 0 für alle x € X gilt: o € A. Nur dieses o kommt als Nullfunktion für UnterVR in Frage. Der Nachweis, dass auch o € V ist, ist simpel wg. |o(x) - o(y)| = 0 , besagt aber nebenher, dass V nicht leer ist (da muss man nicht mit "Polynomen" rummachen)...

An dieser Stelle formuliere man erstmal "Stetigkeit in x_0" für V, dann braucht man mit bislang undefinierten Begriffen wie "lim" etc. nicht hantieren. ;-)
Tipp: Angeraten ist hier eine eps-delta-Formulierung, denn dann ist die Dreiecksungleichung Dein Freund...

-Ace-

30.01.2006, 17:06

Sheli

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Hallo Ace!

Also das ist ja die Definition für Stetigkeit:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists \delta: |x-x_0|<\delta => |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

und das muss ich jetzt für (f+g)(x) anwenden um zu zeigen, dass (f+g)(x) Element von V ist? Hab ich das so richig verstanden?

30.01.2006, 17:10

Sheli

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Dann könnte ich das doch so schreieben

$\begin{eqnarray*} |x-x_0| => |(f+g)(x)-(f+g)(x_0)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = |f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} < |f(x)-f(x_0)| + |g(x)-g(x_0)|< \epsilon \end{eqnarray*}$

30.01.2006, 18:44

Ace Piet

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Fast... Bedenke: |x - x_0| macht in einem metrischen Raum X keinen Sinn; Du hast dort keine Addition und keinen Betrag... Schreibe ersatzweise stattdessen: d(x, x_0), Und wenn Du (geschickt) für das Delta forderst, dass jeweils < eps /2 herauskommt => *fertisch*

Jetzt noch die Stetigkeit für a*f ,falls f € V. Du darfst a != 0 annehmen (warum?!). Schreibe es einfach mal hin...

Sei eps > 0 beliebig vorgegeben, dann existiert Delta, sodass aus d(...) usw... also ist | a*f(x) - a*f(x_0) | = ... < eps. - Schaffst Du es?! ;-)

-Ace-

_______________

P.S.: In der 3-Ecks-Ungleichung gilt das "<" nicht echt... (Schönheitsfehler)

30.01.2006, 19:29

Sheli

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Ok, mal ausprobieren :-)

Da kann man doch das a ausklammern

also |a*f(x)-af(x_0)|=a|f(x)-f(x_0)|<epsilon => |f(x)-f(x_0)|< eps/a

So richtig?

Und warum kann ich a=0 wählen? Dann steht doch einach 0<eps.

30.01.2006, 21:07

Ace Piet

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Zitat:

> also |a*f(x)-af(x_0)|=a|f(x)-f(x_0)|<epsilon
> => |f(x)-f(x_0)|< eps/a

Langsam (Schritt für Schritt)...

(a*f)(x) ist definiert als $\begin{eqnarray*} a \cdot f(x) \end{eqnarray*}$ . - Dieses "*" ist dabei eine Vektorraum-Op. und dieses " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " zur genauen Unterscheidung das gewohnte "mal" in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . - Dieses "*" erhält also seinen Sinn erst durch die Definition: $\begin{eqnarray*} (a * f)(x) \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} a \cdot f(x) \end{eqnarray*}$ , ausdrücklich also durch die rechte Seite.

Rücken wir näher zum Thema: Der Fall $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ für a*f ist gleichwertig mit der Betrachtung der Nullfunktion o. Daß die stetig (in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ) ist, wissen wir schon seit $\begin{eqnarray*} o \in V \end{eqnarray*}$ (V nicht leer). - Wir brauchen also nur noch den Fall $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten. - Allgemein dürfen wir $\begin{eqnarray*} a \in {\mathbb R} \end{eqnarray*}$ nicht irgendwie "wählen". Man muss schon alle Situationen für a abdecken.

Sei also $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ . - Für ein vorgegebenes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert also ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ , sodass für $\begin{eqnarray*} d(x, x_0) \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|< \epsilon / |a| \end{eqnarray*}$ . - Die rechte Seite mit $\begin{eqnarray*} \epsilon / |a| \end{eqnarray*}$ ist maßgeschneidert, wie sie in Stetigkeitsnachweisen häufig vorkommt. Kurz: Man darf es für f fordern und es sieht nachher gut aus...

Und für genau dieses $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} |(a*f)(x) - (a*f)(x_0)| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = |a \cdot f(x)-a \cdot f(x_0)| \end{eqnarray*}$ ;Definition umgesetzt
$\begin{eqnarray*} = |a| \cdot |f(x) - f(x_0)| \end{eqnarray*}$ ;bei Dir fehlten Betragstriche um a...
$\begin{eqnarray*} < |a| \cdot \frac{\epsilon}{|a|} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Ben wird mich steinigen für diesen Beitrag..., aber ich will ja nur mit dem FormelEditor üben (so ist für jeden was dabei). Ich appelliere an die Solidarität unter "Knappen".

Wink

Wink

-Ace-

30.01.2006, 21:35

Sheli

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Oh vielen lieben Dank für die Ausführungen, du weiss gar nicht, wie du mir geholfen hast!!! Und jetzt ist es mir auch alles klar! Wink

Wink

Liebe Grüße,
Sheli

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