Bestimme Basis

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Ivo Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme Basis
Hallo,

ich bräuchte wieder mal eure Hilfe und zwar,
eine Basis von diesem Getüm

{ }


für Antworten bin ich äusserst dankbar
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

schreit doch einfach danach, erst mal das LGS wie gehabt zu lösen....

bzw. finde einfach 3 lin. unabh. vektoren, die das LGS erfüllen.....
dim 3 sollte zumindest schon klar sein
Ivo Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann dir nicht ganz folgen.
Woran erkennst du jetzt schon, dass dim 3 zutrifft
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

naja, es ist der lösungsraum des hinteren homogenen LGS
(früher vielleicht gesehen: Lösungsraum eines LGS ist genau dann ein Unterraum, wenn das LGS homogen ist)

eine Gleichung bei 4 Unbekannten => liefert 3 dimensionalen Lösungsraum (weil du 3 Parameter wählen kannst)
Ivo Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe,
also ich wähle 3 linear unabhängige Vektoren , wobei gilt



diese 3 Vektoren bilden also die Basis von U.


Weiter soll ich ein Komplement zu U finden.

Demnach reicht es doch die 3 vorher bestimmten Vektoren zu einer Basis von zu erweitern.
z.b. durch den Vektor

die lineare Hülle des Vektor bildet dann den komplementären Teilraum von U

ist das so korrekt ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich das richtig sehe, ist das ein mögliches komplement
dim=1 stimmt natürlich auf jeden fall und der schnitt ist trivial......
 
 
Ivo Auf diesen Beitrag antworten »

worum ich dich nochma bitte ist mir genauer zu erklären,
wie ich denn zeigen kann, dass die Basis von U aus 3 Vektoren besteht,
sprich dim U=3.

Denn sowas einfach vorauszusetzen bei einer Aufgabe, ohne es genauer zu begründen ... is nich gut smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

je nachdem wieviel du bereits über lineare gleichungssysteme weißt

vielleicht weißt du:
Ax=0, dim(Lösungsraum)=Anzahl der Unbekannten - Rang(A)
hier: 4 Unbekannte, Rang offensichtlich 1 => dim=3

ansonsten löse das LGS einfach auf, indem du x2=r, x3=s, x4=t als reelle parameter wählst
dabei bekommst du auch gleich deine basisvektoren; und dim 3 springt dann wegen der (hoffentlich offensichtlichen) linearen unabhängigkeit gleich mit bei raus
überhaupt gilt dann: in U gibt es 3tupel von l.u. vetoren => dim U ist MINDESTENS 3; aber es gibt vektoren aus IR^4, die nicht drin liegen => dim U ist höchstens 3 => dim(U)=3
Ivo Auf diesen Beitrag antworten »

danke, du hast mir sehr geholfen
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