integral mit definition berechnen

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stifleré Auf diesen Beitrag antworten »
integral mit definition berechnen
hallo leute, habe mal eine frage:
habe als hausaufgabe auf das integral:



mittels der definition zu berechnen.
wollte deshalb nachfragen ob es ausreichend ist, wenn ich rechne:

F(x)= 0,5ax²+bx

(4,5a+3b-0,5a-b)=4a+2b

oder gibt es da noch eine andere defition?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Gemeint ist wohl die Berechnung über die Riemannsumme, mit der das (Riemann-)Integral definiert ist. Du hast einfach nur ein paar Integrationsregeln benutzt.
PK Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das Ergebnis ist richtig, aber streng genommen müsste bei deinem Zwischenschritt noch das "+c" drin sein, weil die Stammfunktion von der Funktion ist ja .

Aber letztendlich kommt's aufs gleiche raus.
stifleré Auf diesen Beitrag antworten »

habe mir die riemannsumme gerade angeschaut:




dann müsste für
gelten:




problem: wie berechnet man ?

wenn ich das wüßte, dann dürfte der rest eigentlich kein problem mehr sein.
stifleré Auf diesen Beitrag antworten »

könnte es sein, dass


ist?
stifleré Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir bitte jemand sagen ob das bisher richtig ist:





?
danke
 
 
stifleré Auf diesen Beitrag antworten »

niemand eine idee, ob das richtig ist?
stifleré Auf diesen Beitrag antworten »

will ja nicht nerven, aber weiß es wirklich keiner?
stifleré Auf diesen Beitrag antworten »

sehe gerade dass es


heißen muss

ist das korrekt?
stifleré Auf diesen Beitrag antworten »

bin mittlerweile der meinung, dass es 2/n am anfang heißen muss
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Deine sind korrekt angegeben. In der Formel für die Riemann-Summe hast du oben noch drin. Diese bilden eine sogenannte Belegung, d.h. es gilt .

Die kannst du geeignet nach oben und unten abschätzen und deine Riemann-Summe so nach oben und unten einschachteln.

Es gilt etwa: , dabei habe ich o.E. vorausgesetzt.

Damit müsstest du Unter- und Obersummen sowie die Zwischensumme hinschreiben können.

Grüße Abakus smile

EDIT: Du hast , also muss es auch so am Anfang heißen, korrekt.
stifleré Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine antwort,
kannst du mir beantworten ob:




richtig ist?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Fast gut, schreibe folgendes:



.

Das lässt sich natürlich noch etwas zusammenfassen.

Grüße Abakus smile

EDIT: Was zu erwähnen ist, du betrachtest hier die Obersummen!
stifleré Auf diesen Beitrag antworten »

hab vielen dank.
hoffe ich bekomme es noch zusammen, wenn nicht meld ich mich nochmal.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, denk dran, du musst die Untersummen auch noch hinschreiben.

Beim Ausrechnen der Ober- und Untersummen hilft dir dann folgende Summenformel:

.

Grüße Abakus smile
stifleré Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe versucht die aufgabe nach dem vorbild der aufgabe unten zu lösen, dachte das ist alles?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Beispiel werden nur die Obersummen betrachtet. Damit das Riemann-Integral existiert, müssen Ober- und Untersummen existieren und gegen einen gemeinsamen Wert konvergieren.

Ferner betrachten wir hier nur bestimmte, äquidistante Zerlegungen des Integrationsintervalls. Für die Existenz des Riemann-Integrals ist gefordert, dass diese Eigenschaft für beliebige Zerlegungen und Belegungen gelten muss.

(Ansonsten definiere ich zB eine Funktion, die auf deinen abzählbar vielen Zerlegungspunkten = 0 ist, und ansonsten beliebige Werte annimmt.)

In diesem Fall ist die Funktion hier jedoch R-integrierbar und es sollte schon das richtige Ergebnis rauskommen. D.h. wenn das Integral nur berechnet werden soll und bekannt ist, dass es existiert, geht das auch so.

Grüße Abakus smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Ferner betrachten wir hier nur bestimmte, äquidistante Zerlegungen des Integrationsintervalls. Für die Existenz des Riemann-Integrals ist gefordert, dass diese Eigenschaft für beliebige Zerlegungen und Belegungen gelten muss.

(Ansonsten definiere ich zB eine Funktion, die auf deinen abzählbar vielen Zerlegungspunkten = 0 ist, und ansonsten beliebige Werte annimmt.)

Das Problem liegt doch gar nicht darin! Im Gegenteil: Es gibt gar kein Problem. Wenn du das Supremum oder Infimum in dem jeweiligen Intervall nimmst, dann kann es ja auch an einem deiner Punkte mit beliebig gewähltem Wert angenommen werden bzw. es muss nicht in den abzählbar vielen Punkten angenommen werden. Es gilt nämlich folgendes:
Gibt es für die Funktion eine beliebige Zerlegungsnullfolge des Intervalls , sodass die beiden Limites und existieren und gleich sind, so ist auf Riemann-integrierbar.
Das folgt direkt aus dem Riemannschen Integrabilitätskriterium:

ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn gilt:

.

Gruß MSS
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