Methode der kleinsten Quadrate - Teilschritt

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29.01.2006, 08:22	vanzilla	Auf diesen Beitrag antworten »
Methode der kleinsten Quadrate - Teilschritt Hallo, ich beschäftige mich gerade mit der Methode der kleinsten Quadrate und muss sie unbedingt vollständig verstehen. Ich bin auch schon recht weit gekommen und hänge nun an einer Umformung. Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Kann mir jemand helfen,folgende Gleichung nach a umzustellen? $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~t_is_i-a\sum_{i=1}^n~ t_i^{2}-(\bar s-a\bar t)\sum_{i=1}^n~t_i=0 \end{eqnarray}$ Ich drehe mich nur im Kreis und komme einfach nicht weiter. Viele Grüsse Christian
29.01.2006, 10:46	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielleicht stören dich ja nur die Summenzeichen. Stelle doch einfach mal $\begin{eqnarray} x-ay-(s-at)z=0 \end{eqnarray}$ nach a um. Gruß, therisen
29.01.2006, 10:47	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin,moin, Die Summen einfach wie normale (..)-Terme betrachten: Erst den 3. Term ausmultiplizieren, dann a ausklammern (alle Terme mit a als Summe in Klammern) , dann alle Terme ohne a auf die rechte seite holen, und dann durch die Summe in Klammern (hinterm a) teilen. et voilá.
29.01.2006, 17:32	vanzilla	Auf diesen Beitrag antworten »
zu blöd zum umformen Hallo, kann mir vielleicht noch mal jemand helfen (vielleicht auch mit Einzelschritten)? Ich glaube, ich bin echt zu blöd zum Umformen. Das ist die Ausgangsgleichung: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~t_is_i-a\sum_{i=1}^n~ t_i^{2}-(\bar s-a\bar t)\sum_{i=1}^n~t_i=0 \end{eqnarray}$ und folgendes soll dabei herauskommen: $\begin{eqnarray} a=\frac{\frac{1}{n}\sum_{n=1}^n~t_is_i-\sum_{n=1}^n~t_i\sum_{n=1}^n~s_i }{n\sum_{n=1}^n~t_i^{2}-(\sum_{n=1}^n~t_i)^2} \ \end{eqnarray}$ und dort komme ich einfach nicht hin! Viele Grüsse Christian
29.01.2006, 17:39	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Stell doch erstmal symbolisch nach a um, so wie therisen es vorgeschlagen hat, und schreib´s hier rein. Dann sehen wir wo´s hakt. Das ist doch eine wunderbare Vereinfachung...
29.01.2006, 18:09	vanzilla	Auf diesen Beitrag antworten »
Symbolisches also ... $\begin{eqnarray} x-ay-(\bar s -a\bar t)z = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-a(y-\bar tz)-\bar s z = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-\bar s z = a(y-\bar t z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = \frac{x-\bar s z}{y-\bar t z} \end{eqnarray}$ und wieder eingesetzt wird daraus: $\begin{eqnarray} a=\frac{\sum_{n=1}^n~t_is_i -\bar t \sum_{n=1}^n~t_i}{\sum_{n=1}^n~t_i^2-\bar t \sum_{n=1}^n~t_i} \end{eqnarray}$ und dann hakts!
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29.01.2006, 18:16	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symbolisches Deine Umformung nach a stimmt, aber du musst dann auch richtig einsetzen: $\begin{eqnarray} a=\frac{\sum_{i=1}^n~t_is_i -\bar s \sum_{i=1}^n~t_i}{\sum_{i=1}^n~t_i^2-\bar t \sum_{i=1}^n~t_i} \end{eqnarray}$ Gruß, therisen
29.01.2006, 18:19	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symbolisches Super soweit! Hast dich nur bei dem einen $\begin{eqnarray} \bar s \end{eqnarray}$ vertan: $\begin{eqnarray} a=\frac{\sum_{n=1}^n~t_is_i -\bar s \sum_{n=1}^n~t_i}{\sum_{n=1}^n~t_i^2-\bar t \sum_{n=1}^n~t_i} \end{eqnarray}$ apropo: Was bedeuten eigentlich $\begin{eqnarray} \bar s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bar t \end{eqnarray}$ ? Die liefern wahrscheinlich den letzten Schritt. mfg, phi
29.01.2006, 18:27	vanzilla	Auf diesen Beitrag antworten »
Arithmetisches Mittel $\begin{eqnarray} \bar s \end{eqnarray}$ ist das Arithmetische Mittel. d.h. $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{n=1}^n~s_i\ \end{eqnarray}$ Schon mal vielen Dank für die Hilfe. Manchmal ist die Lösung so nah. Allerdings komme ich immer noch nicht auf das Sollergebnis. Viele Grüsse Christian
29.01.2006, 18:38	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier nochmal alles zusammen zur Übersicht: Wir haben soweit jetzt, dass wir das hier: $\begin{eqnarray} \bar s= \frac{1}{n}\sum_{n=1}^n~s_i\ ~ \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} ~ \bar t= \frac{1}{n}\sum_{n=1}^n~t_i\ \end{eqnarray}$ in dass einsetzen wollen: $\begin{eqnarray} a=\frac{\sum_{n=1}^n~t_is_i -\bar s \sum_{n=1}^n~t_i}{\sum_{n=1}^n~t_i^2-\bar t \sum_{n=1}^n~t_i} \end{eqnarray}$ ..um das rauszubekommen: $\begin{eqnarray} a=\frac{\frac{1}{n}\sum_{n=1}^n~t_is_i-\sum_{n=1}^n~t_i\sum_{n=1}^n~s_i }{n\sum_{n=1}^n~t_i^{2}-(\sum_{n=1}^n~t_i)^2} \ \end{eqnarray}$ Schau´s dir nochmal in Ruhe an, es müsste gehen.
29.01.2006, 18:49	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
29.01.2006, 19:07	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Da therisen nicht explizit darauf hingewiesen hat, sondern nur die Verbesserung gepostet hat, werd ich das tun: Passt bitte auch auf die Indizes der Summen auf, sodass Lauf- und Endvariable der Summen nicht durch ein und die selbe Variable dargestellt werden. Servus
30.01.2006, 09:06	vanzilla	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Guten Morgen Allezusammen. gerade habe ich's geschafft - Vielen Dank für Eure geduldige Hilfe! Viele Grüße Christian
30.01.2006, 10:56	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Super!

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