Ableitung von e^x

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Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von e^x
Hallo,

ich verstehe nicht, warum die Ableitung von e^x ebenfalls e^x ist.

Ich würde das so rechnen:

(e^x)' = x*e^(x-1)

Bsp.: x = 3

--> 3*e^(2) = 22,17

Wenn aber wirklich gilt:

(e^x)' = e^x

müsste in dem Beispiel 20,09 rauskommen, da e^3 = 20,09 ist.

Wo ist mein Denkfehler?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler ist, dass du falsch ableitest. x ist die Variable, keine Konstante!



Gruß, therisen
rain Auf diesen Beitrag antworten »

probier es mal mit dem hier:l
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

Was du meinst ist ==>
Du leitest ja hier nach x ab und nicht nach n...

hattest du schon die ableitung von allgemeinen exponentialfunktionen a^x ?
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich net....

x ist doch der Exponent... Und beim Ableiten gilt doch immer die Regel, die sommer87 hingeschrieben hat....
Also muss der Exponent doch so nach vorne usw :-/
n! Auf diesen Beitrag antworten »

ja,aber hier in diesem Fall ist der Exponent deine Variable und nicht eine Konstante n
 
 
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

x^n ist eine potenzfunktion, bei der x die variable und n eine konstante ist.
a^x bzw e^x ist aber eine exponentialfunktion, bei der ebenfalls x die variable ist, nach der abgeleitet wird und a bzw e sind deine konstanten.

habt ihr die exponentialfunktionen für a^x schon mal abgeleitet?
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann es dir ehrlich gesagt nicht so genau sagen.....
Verstehe im Moment nur Bahnhof in Mathe...

Leitet man denn in jedem Fall immer nach x ab, also bei x^n und beo e^x?

Was muss man denn beachten, wenn x im Exponenten steht und warum muss man da was besonderes beachten?
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

du hast doch deine Funktion f(x) = e^x

Das f(x) sagt dir schonmal, dass du eine Fkt f hast, die Abhängig von x ist. Also ist x deine Variable, nach der du jetzt differenzieren musst.

Wir haben im LK die Ableitung von e^x über die allgemeine Exponentialfkt a^x hergeleitet. Denke mal, das wird bei euch auch so kommen.

Bei Exponentialfunktionen kommt es auch darauf an, was die Basis darstellt. Ist die Basis gleich der Euler'schen Zahl e, so gilt ==>

Habt ihr in der schule schon mit solchen Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen angefangen oder macht ihr gerade was anderes?
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben das alles schon gemacht und wiederholen gerade fürs Abi... Leider verstehe ich aber nichts, weil ich es auch schon in der 12 nicht verstanden habe, weil mein Lehrer die Sachen nicht erklärt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sommer87
Was du meinst ist ==>
Du leitest ja hier nach x ab und nicht nach n...

Also erstmal solltest du das vorstehende komplett verstehen. Deine variable ist das x und die steht bei f(x) = x^n in der Basis, wobei der Exponent n eine Konstante ist. Dann gilt eben obige Regel. Bei g(x) = e^x ist die Basis e eine Konstante und deine Variable x steht im Exponent. Dann gilt obige Regel eben nicht. Mit etwas Rechnerei kann man zeigen, daß g'(x) = g(x) = e^x ist.
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dass die normale Regel nicht gilt, hab ich jetzt verstanden, zwar nicht warum, aber das is auch egal, da es bei mir in Mathe schon lange nicht mehr ums Begreifen, sondern nur ums Anwenden geht. Bei den "Warums" komm ich eh nicht mehr mit.

Welche Regel gilt denn dann, wenn das x im Exponenten ist, so wie bei e^x?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es einfach nur die Regel, daß die Ableitung von f(x) = e^x die Funktion f'(x) = e^x ergibt. Und alle anderen Exponentialfunktionen mußt du vor dem Ableiten auf die e-Funktion umbauen.
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber das hilft mir nicht weiter....
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

abgeleitet ist folgendes



das is die Regel. Wie es klarsoweit gesagt, Rückführung auf
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zeig dir das mal so, wie wir es im Unterricht besprochen haben:

Du hast also eine Exponentialfunktion

Vorgehen: Annäherung durch Sekantensteigung:



Wobei und mit

Für die Sekantensteigung folgt:



Im Grenzfall erhält man aus der Sekantensteigung die Tangentensteigung bzw. die 1. Ableitung:



Wenn man den Ausdruck kennt, kennt man die Ableitung der Exponentialfunktion.

Als übung kannst du jetzt selbst probieren, was für a = 2, a = 3; a= 0,5 bei n = 10^4 bzw n = 10^5 passiert.

Es stellt sich die Frage, ob es eine Exponentialfunktion gibt, die sich selbst zur Ableitung hat:

Für diese Basis a=e müsste gelten:




Sei n groß genug, dass:



Wenn du jetzt dein n beliebig hoch wählst erhällst du den exakten Wert von e, also ungefährt 2,718281828...

Also gilt
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Die Boardsuche ergibt Dir da noch haufenweise Diskussionen zu e und Definitionen und Herleitungen...
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

@ sommer87:

Danke für deine Mühe. Ich habe nur noch nicht verstanden´, wie du auf die Bedingung für die Exponentialfunktion, die sich selbst zur Ableitung hat, gekommen bist...... Also warum muss die = 1 sein? Das heißt doch, dass die Ableitung der Exponentialfunktion, die sich selbst zur Ableitung hat = 1 ist, oder?
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

nein.

du hast eine Exponentialfunktion a^x mit der allgemeinen Basis a >0.

Dann ist die Ableitung wie oben gezeigt



wenn du die bedingung f(x) = f'(x) erfüllen willst muss also gelten:



Das geht nur, wenn , da bei einem von eins unterschiedlichen wert dein a^x vergrößert oder verkleinert wird.

dieser eine fall, dass gilt existiert nur bei der basis a = e = 2,718281828....
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Aja, stimmt...

Vielen dank für deine Mühe!!! Hat mir sehr geholfen!!!
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