Wahrscheinlichkeitsrechnung

23.05.2008, 11:29

chris15

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Hallo! Ich hab da ein Problem mit folgender Aufgabe:

Ein Tetraeder hat auf seinen Flächen die Zahlen 1,2,3 und 4. Es gilt de Zahlals geworfen die unten liegt. Es wird angenommen, dass alle Zahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit geworfen werden.

a.) Man wirft zweimal hintereinander. Folgende Ereignisse werden definiert:
A:= "Das Ergebnis des 1. Wurfs ist kleiner als 3 und der 2. Wurf liefert eine ungerade Zahl"
B:= " Die Summe aus beiden Würfen ist ungerade"
Berechne P(A) und P(B).

b.) Man benutzt das Tetraeder zu einem Glücksspiel. Jeder Spieler muss einen bestimmten Einsatz zahlen. Ist bei zweimaligem Werfen die Zahlensumme 2 oder 8, so erhält der Spieler 2 € ausbezahlt. Ist die Summe 3 oder 7, so erhält er 1€ ausbezahlt. In allen übrigen Fällen erhält er nichts.
- wie groß muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?
- wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler, der dieses Spiel 50mal mitmacht, mindestens 25mal gewinnt?

also bei a.) der erste wurf muss ha 2 sein, da die gesamtsumme ungerade ist und die als zweites geworfene Zahl auch ungerade ist, aber bei dem zweiten Wurf könnten zwei Zahlen rauskommen, 1 und 3 oder sehe ich das falsch?
bei b.) weiß ich gar nicht, was ich machen soll, wir machen wahrscheinlichkeitsrechnung nämlich zum ersten mal und haben grade damit angefangen und noch nichts dazu besprochen.
wäre euch dankbar wenn ihr mir hilft.

23.05.2008, 11:51

Zellerli

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Aaaalso:

Bei a) hast du was verwechselt. Wieso muss die Augensumme ungerade sein, wo der erste Wurf kleiner 3 sein soll und der zweite ungerade?
Es gibt zwei Ereignisse: A und B und beide haben einen eigenen Ereignisraum und eine eigene Wahrscheinlichkeit.

Zitat:

bei b.) weiß ich gar nicht, was ich machen soll, wir machen wahrscheinlichkeitsrechnung nämlich zum ersten mal

Das glaube ich dir nicht so ganz, denn hier geht es um Zufallsgrößen und Erwartungswert. Das macht man nicht in den ersten Stochastik Stunden, sondern erst wenn man mit den Grundlagen vertrauter ist. Überleg dir doch mal, wie man da rangehen kann. Der Einsatz ist zu 100% verloren, aber zu einer gewissen Wahrscheinlichkeit gewinnt der Spieler 2€, bzw. 1€. Wieviel Gewinn ist zu erwarten? Was könnte mit "fair" gemeint sein?

23.05.2008, 11:58

chris15

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hä? also bei muss der erste wurf doch 2 ergeben oder nicht?
ich versteh das nicht?!?! der zweite wurf kann doch 1 oder 3 sein dann würde das ergebnis doch ungerade sein, da es 3 oder 5 ergeben würde oder nicht?!

23.05.2008, 12:06

Zellerli

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Zitat:

A:= "Das Ergebnis des 1. Wurfs ist kleiner als 3 und der 2. Wurf liefert eine ungerade Zahl"

Wo steht da was von der ungeraden Summe?

23.05.2008, 12:07

chris15

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B:= " Die Summe aus beiden Würfen ist ungerade"

gehört das nicht dazu?

23.05.2008, 12:13

Zellerli

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Nein, das gehört nicht dazu. Du solltest anfangen, indem du die möglichen Ergebnisse, die dein Ereignise erfüllen als Menge zusammenfasst.

Bsp: Es werden zwei Münzen geworfen.

A: Die beiden Würfe zeigen verschiedene Seiten.

Dann schreibt man: $\begin{eqnarray*} A=\{(K,K), (Z,Z)\} \end{eqnarray*}$

So geht es auch bei deinem Ereignis. Schreib in die Menge alle Kombinationen, die das Ereignis "erfüllen".

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23.05.2008, 12:31

chris15

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A = {( 1,3), (1,1), (2,1), (2,3)} so?

(1/4*1/4)*4 = 0,5

ist das dann 50% wahrscheinlichkeit?

B = {(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)}

(1/4*1/4)*8=1

100% ?!?!

23.05.2008, 12:33

chris15

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ach bei A: 1/4

25%

und bei B: 0,5

50%

???

23.05.2008, 19:23

Zellerli

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Ja so stimmts.

24.05.2008, 11:13

chris15

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bei b.)
1. A = {(1,1), (4,4)}

(1/4*1/4) * 2 = 0,125
12,5%

2. B = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}

(1/4*1/4)*4 = 0,25
25%

2€ = 25cent

1 € = 25 cent

der Einsatz muss 50 cent sein, damit das Spiel fair ist

Ist das so richtig??

das mit den 50mal mitmachen, dass kann ich irgendwie nicht, ich weiß nicht wie ich das berechnen soll

24.05.2008, 19:56

Zellerli

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Zitat:

2€ = 25cent

1 € = 25 cent

Ich weiß was du meinst und die Zahl stimmt auch. Aber wenn du ein Mathelehrer wärst, würdest du da nicht einen Fehler drauf geben, wenn jemand sowas schreib? 25cent sind 2Euro. Super! Dann ist ja 1Euro 4mal 25cent also 4mal 2Euro also ist 1Euro dann 8Euro! So kann man Geld machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hast du mal was von Erwartungswert und Zufallsgrößen gehört?
Mach doch mal eine Zufallsgröße X. Die soll beschreiben, wieviel Geld man bekommt/verliert.
Sie kann verschiedene Werte zu verschiedenen Wahrscheinlichkeiten annehmen. Nenn den gesuchten Einsatz mal a.
Jetzt machst du eine Tabelle mit zwei Zeilen. In die obere Zeile schreibst du die Werte X rein, also das Geld was man gewinnen/verlieren kann. Und in die untere Zeile die zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X). Negative Werte bedeuten, dass Geld verloren geht, Positive Werte bedeuten, dass Geld gewonnen wird.

Wieviele verschiedene Werte gibt es? Wie lauten sie? Wie sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten?

24.05.2008, 20:24

chris15

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versteh ich nicht ganz, soll das die d.) sein?

X: 2 € | 1€ | -50 cent
-----------------------------------------------------------------------
P: 12,5 % | 25% | 62,5%

so oder wie?

24.05.2008, 20:51

chris15

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das mit 50 cent setzen damit es fair ist ist richtig??!?!

kann ich das nicht so machen mit den 50 mal versuchen und 25mal gewinnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 50 \\ 25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ *0,375^25*0,625^25 = 0,022 --> 2,2%

24.05.2008, 22:22

NatürlicheZahl

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Zellerli ist gerade nicht online, deswegen versuch ich mal jetzt zu helfen!

Du musst den Erwartungswert ausrechnen, daher mit welchen Wert man im Mittel pro Spiel rechnen muss.

Berechnen lässt er sich so:

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{i=1}^n~ x_{i} * P(X=x_{i}) \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} E(X) = x_{1}*P(X=x_{1})+x_{2}*P(X=x_{2})+...+x_{n}*P(X=x_{n}) \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich ja eigentlich schon die ganze Arbeit für dich getan, du musst nur noch die Werte aus deiner Tabelle einsetzen.

Ich hoffe das hilft dir.

24.05.2008, 22:33

chris15

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also:

E(x) = 2*0,15 + 0,25 - 0,5* 0,625 = 0,1875
also 18,75 %

ist das alles jetzt so richtig?

24.05.2008, 22:46

NatürlicheZahl

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Also nochmal kurz um es zusammenzufassen:

Wenn die Augensumme 2 oder 8 beträgt, erhält der Spieler 2 €, wenn sie 3 oder 7 beträgt erhält der Spieler 1 €, ansonsten garnichts. Für jedes Spiel ist ein Betrag e zu zahlen.

Also rechnest du erstmal die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Ereignisse aus, welche wie folgt wären:

$\begin{eqnarray*} P(X=2) = \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=8) = \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=3) = \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=7) = \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

und das Gegenereignis dazu:

$\begin{eqnarray*} P(X <> {2;8;3;7}) = \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$

Also kannst du - wie du schon gemacht hast - eine Tabelle erstellen, ohne erstmal den Einsatz zu berücksichtigen (dazu kommen wir später):

Y: 2 € | 1€ | 0 €
-----------------------------------------------------------------------
P(X=x) : 2/16 | 1/4| 5/8

Davon berechnest du jetzt den Erwartungswert, so wie du es gerade schon gemacht hast. Das Ergebnis wird jedoch nicht in Prozent angegeben, denn es gibt hier den im Mittel zu erwartenden Gewinn pro Spiel an.

Die Differenz zwischen 0 (das Spiel ist fair) und dem Erwartungswert gibt den einzusetzenen Einsatz an, um das Spiel fair zu machen.

Denn es gilt für dem Erwartungswert einer Zufallsgröße X - anders ausgedrückt:

$\begin{eqnarray*} E(a*X+b) = a * E(X) + b \end{eqnarray*}$

Ich hoffe du hast es verstanden, wenn nicht bitte fragen! smile

smile

24.05.2008, 22:52

chris15

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also E(X) = 2*0,125 + 1*0,5 + 0*0,625 = 0,75

also 75 cent damit das spiel fair ist ?!

24.05.2008, 22:58

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von chris15
also E(X) = 2*0,125 + 1*0,5 + 0*0,625 = 0,75

also 75 cent damit das spiel fair ist ?!

Da hat sich ein kleiner Rechenfehler eingeschlichen!

1/4 sind 0,25!

Folglich:

$\begin{eqnarray*} E(X)=2*0,125 + 1*0,25+0*0,625 = 0,5 \end{eqnarray*}$

Also beträgt der Erwartungswert 0,5, d.h. der Spieler macht im Mittel ein Gewinn von 0,5€ pro Spiel. Wie hoch muss nun der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?

24.05.2008, 23:10

chris15

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"Die Differenz zwischen 0 (das Spiel ist fair) und dem Erwartungswert gibt den einzusetzenen Einsatz an, um das Spiel fair zu machen"

muss ich jetzt 0 - 0,5 rechnen oder wie? das wäre dann -0,5

24.05.2008, 23:15

NatürlicheZahl

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Um das Spiel fair zu machen muss der Erwartungswert - wenn der Einsatz berücksichtigt wird - 0 sein.

Also muss in diesem Fall der Einsatz 0,5€ betragen.

24.05.2008, 23:23

chris15

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achso, ja das meinte ich doch schon vorhin einmal:

"2€ => 25cent

1 € => 25 cent

der Einsatz muss 50 cent sein, damit das Spiel fair ist"

zu der frage:
- wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler, der dieses Spiel 50mal mitmacht, mindestens 25mal gewinnt?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 50 \\ 25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ *0,375^25*0,625^25 = 0,022 --> 2,2%

war diese lösung dazu richtig?

24.05.2008, 23:25

NatürlicheZahl

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Nein, dass stimmt leider nicht. Du hast ausgerechnet, dass er genau 25 mal gewinnt, aber nicht mindestens 25 mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.05.2008, 23:31

chris15

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ja dann wäre es doch einfach "unter 2,2 %" bei mindestens 25 mal oder nicht?!

24.05.2008, 23:38

NatürlicheZahl

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Nein so einfach ist das nicht Big Laugh

Big Laugh

Du musst

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 25) = \sum_{x=25}^{50}~P(X=x_{i}) \end{eqnarray*}$

ausrechnen, d.h.

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 25) = P(X=25)+P(X=26)+...+P(X=50) \end{eqnarray*}$

Oder das Gegenereignis betrachten, dann wäre das Stichwort kumulierte Binomialverteilung

24.05.2008, 23:45

chris15

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das dauert doch ewig bis ich das ausrechne..

gibts dafür nicht irgendeinen einfachen weg den du mir erklären kannst oder irgendeine formel

24.05.2008, 23:47

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von chris15
das dauert doch ewig bis ich das ausrechne..

gibts dafür nicht irgendeinen einfachen weg den du mir erklären kannst oder irgendeine formel

-> kumulierte Binomialverteilung

Schau mal hier

24.05.2008, 23:56

chris15

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also muss ich jetzt für n=50 eingeben und für p=0,375

dann kommen da 50 Zahlen raus, was soll ich mit denen machen? addieren?

25.05.2008, 00:05

NatürlicheZahl

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Ich habe dir ja gesagt, dass du in diesem Fall das Gegenereignis betrachten musst.

Daher: $\begin{eqnarray*} P(X \geq 25) =1 - P(X < 25) \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du eben P(X < 25) bestimmen.

Dafür gibst du für n eben 50 ein und für p die Wahrscheinlichkeit, also 0,375.

Die Zahlen die erscheinen, sagen dir folgendes:

Bei 20 steht der Wert y, für den gilt: $\begin{eqnarray*} P(X \geq 20) =y \end{eqnarray*}$
Also y ist die Aufsummierung der Wahrscheinlichkeiten bis 20 oder anders:

$\begin{eqnarray*} F(n,p;k)= B(n,p;0)+...+B(n,p;k) = \binom{n}{0}*p^0*(1-p)^{n-0}+...+ \binom{n}{k}*p^k*(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Daher schaust du in deinem Fall bei 25. Dieser Wert gibt dir die Aufsummierung aller Wahrscheinlichkeiten bis 25 an!

Da wir aber nach P(X<25) suchen (die Tabelle dir aber den Wert einschließlich 25 anzeigt), rechnest du noch P(X=25) aus und subtrahierst diesen von dem Wert aus der Tabelle. Nun hast du P(X<25).

Das setzt du jetzt in

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 25) =1 - P(X < 25) \end{eqnarray*}$

ein und fertig! smile

smile

25.05.2008, 00:17

chris15

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ganz ehrlich gesat: ich versteh das überhaupt nicht

also ich habe jetzt den wert von 25 aus der tabelle

25 => 0.9743

wie kann man denn jetzt P (x=25) ausrechnen?!

25.05.2008, 00:20

NatürlicheZahl

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$\begin{eqnarray*} P(X=25) = \binom{50}{25}*0,375^{25}*(1-0,375)^{50-25} \end{eqnarray*}$

So sollte es aussehen:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 25) = 1 - P(X<25) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(X<25)= P(X \geq 25) - P(X = 25) \end{eqnarray*}$

P(X<=25) liest du aus der Tabelle ab und P (X=25) rechnest du aus!

$\begin{eqnarray*} = P(X<25) = 0,9743 - 0,0224 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = P(X<25) = 0,9519 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(X \geq 25) = 1 - 0,9519 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(X \geq 25) = 4,81% \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dürfte das Ergebnis 4,81% sein.

25.05.2008, 00:42

chris15

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achso...
also wär das bei der aufgabe

In 90% der Haushalte der BRD ist ein kühlschrank vorhanden. Eine Befragung wird in 100 zufällig ausgesuchten Haushalten durchgeführt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man in
a.) gena 90
b.) mindestens 90
c.) mehr als 90
Haushalten ein Kühlschrank vorfindet?

dann so:
a.) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 100 \\ 90 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ *0,9^90*0,1^10 = 0,1318 -> 13,2%

b.) hier müsste ich jetzt die Zahl aus der Tabelle ablesen, aber die zeigt sowas komisches an..
90 --> 1.3601365085385696e+107

ich muss doch für n = 100 und für p =0,9 eintippen oder nicht?

25.05.2008, 00:45

NatürlicheZahl

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a) ist richtig Freude

Freude

b) Du musst bei p anstatt einem Komma ein Punkt setzen. Dann kommt auch eine vernünftige Zahl raus. Ansonsten das gleiche Verfahren wie bei der alten Aufgabe gerade auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.05.2008, 00:50

chris15

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aso

also:
90 --> 0.55

p(x<90) = 0,55 - 0,1318 = 0,4182

P(x>=90) = 1 - 0,4182 = 0,5818 --> 58,18%

und was soll ich bei c machen, soll ich einfach für 91 haushalte berechnen oder wäre das wieder falsch?

25.05.2008, 00:53

NatürlicheZahl

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$\begin{eqnarray*} P(X>90) = 1- P(X \leq 90) \end{eqnarray*}$

Und dann wie gehabt -> P (X<=90)einfach ablesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.05.2008, 01:04

chris15

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also
c.) p(x>90) = 1 - 0,55 = 0,45 -> 45%

25.05.2008, 15:14

Zellerli

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Saubere Arbeit, Natürliche Zahl. Da habt ihr ja ne halbe Nacht durchgekämpft Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber freut mich, dass chris15 es jetzt drin hat.

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