Logarithmengesetze

30.01.2006, 11:26

terrapot02

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Logarithmengesetze

Frage hier muß ich die logarthmusgesetzte anwenden schätze ich mal

$\begin{eqnarray*} \frac{ln 2(x)}{3 ln(x)} \end{eqnarray*}$
und wie wende ich das an?

ist das vielleicht gleich das hier
$\begin{eqnarray*} \frac{ln2 + ln x}{ln 3 + ln x} \end{eqnarray*}$
?????

Kann mir einer weiterhelfen, diese aufgabe zu vereinfachen.....

30.01.2006, 11:44

vrenili

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RE: ln-gesetzte
Hi,

also verstehe ich das richtig, dassDu folgende Aufgabenstellung meinst:
$\begin{eqnarray*} \frac{\ln{2x}}{3\cdot\ln{x}} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du aber im Nenner nicht einfach die 3 reinziehen:
$\begin{eqnarray*} 3\cdot\ln{x}\neq\ln{3x} \end{eqnarray*}$ .

Dazu gibt es ein anderes ln-Gesetz.
Insgesamt gibt es 3, schreib Dir die am besten nochmal alle auf!

LG
Verena

30.01.2006, 11:46

klarsoweit

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RE: ln-gesetzte
Meinst du diesen Term?
$\begin{eqnarray*} \frac{ln (2x)}{3 \cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$
Wenn ja, stimmt die Umformung des Zählers, die vom Nenner aber nicht. Ohnehin läßt sich da nicht mehr viel vereinfachen.

30.01.2006, 11:50

terrapot02

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das meine ich ja die gesetze anzuwenden, ich weiß auch nicht welche genau???

30.01.2006, 12:44

vrenili

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Die müssten doch irgendwo in Deinen unterlagen auftauchen!

Nagut, hier sind sie:

1.) $\begin{eqnarray*} \log_a{b}+\log_a{c}=\log_a{(b\cdot c)} \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} \log_a{b}-\log_a{c}=\log_a{(\frac{b}{c})} \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} c\cdot \log_a{b}=\log_a{(b^c)} \end{eqnarray*}$

30.01.2006, 12:48

Ari

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Zitat:

Dazu gibt es ein anderes ln-Gesetz.

$\begin{eqnarray*} a^b=c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \log_a c=b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log_a c+\log_a d=\log_a(c\cdot d) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \log_a c-\log_a d=\log_a(\frac{c}{d}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f\cdot\log_a b=\log_a b^f \end{eqnarray*}$

die gesetze musst du anwenden. und das dritte scheinst du übergangen/ignoriert zu haben...

edit: zu langsam traurig

traurig

sorry vrenili

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30.01.2006, 13:08

terrapot02

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achso dann wäre das dann $\begin{eqnarray*} \frac{ln2(x)}{ln(x^3)} \end{eqnarray*}$
aber jetzt geht es nicht mehr weiter oder

30.01.2006, 13:22

vrenili

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Kommt drauf an, was das Ziel ist...

Es gibt da noch die folgende Regel:
$\begin{eqnarray*} \log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}} \end{eqnarray*}$
Damit kommst Du evtl. noch ein wenig weiter...

LG
Verena

30.01.2006, 14:01

terrapot02

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und wenn ich hier raus den Grenzwert erreche
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } e^{\frac{ln2(x)}{3*ln(x)} } \end{eqnarray*}$
dann ist das schon ein bisschen anders...

30.01.2006, 14:33

Frooke

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Das würd ich so machen:

Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \mathrm{e}^{\frac{\ln(2x)}{3 \ln(x)} }=\exp\left(\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(2x)}{3 \ln(x)}\right)=\exp\left(\lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{3x^3}\right)=... \end{eqnarray*}$

Der Rest ist ja ganz einfach.

30.01.2006, 14:33

klarsoweit

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RE: ln-gesetzte
Dann belasse es doch bei diesem Term und kürze durch ln(x):
$\begin{eqnarray*} \frac{ln2 + ln x}{3 \cdot ln x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} \exp\left(\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(2x)}{3 \ln(x)}\right)=\exp\left(\lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{3x^3}\right)=... \end{eqnarray*}$

Wieso gilt das? verwirrt

verwirrt

30.01.2006, 17:04

terrapot02

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so

$\begin{eqnarray*} \frac{ln 2+ln(x)}{3*ln(x)}= \frac{ln 2}{3} \end{eqnarray*}$

30.01.2006, 17:10

Frooke

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RE: ln-gesetzte

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Frooke
$\begin{eqnarray*} \exp\left(\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(2x)}{3 \ln(x)}\right)=\exp\left(\lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{3x^3}\right)=... \end{eqnarray*}$

Wieso gilt das? verwirrt

verwirrt

Hospital

Augenzwinkern

30.01.2006, 18:20

20_Cent

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dann fehlt schonmal mindestens ne 2, vor allem aber: wie kommst du auf ^3 ?
mfg 20

30.01.2006, 18:35

Mathespezialschüler

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Da fehlt keine $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Entweder hast du keine Logarithmusgesetze angewendet oder du hast die innere Ableitung vergessen, Oli! Am Ende sollte dann jedenfalls

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x}}{3\cdot \frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

da stehen. Ob man das nun als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ oder als $\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{3x^3} \end{eqnarray*}$ schreibt, ist dann relativ egal. Allerdings war ich auch etwas verwundert, als ich da dritte Potenzen sah. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

30.01.2006, 18:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von terrapot02
so
$\begin{eqnarray*} \frac{ln 2+ln(x)}{3*ln(x)}= \frac{ln 2}{3} \end{eqnarray*}$

Nein.

unglücklich

Wenn, dann so:
$\begin{eqnarray*} \frac{ln 2+ln(x)}{3*ln(x)}= \frac{\frac{ln 2}{ln(x)}+1}{3} \end{eqnarray*}$

30.01.2006, 19:31

Frooke

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Allerdings war ich auch etwas verwundert, als ich da dritte Potenzen sah. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hatte das drum etwas dümmlich angestellt. Statt die drei hinauszuziehen, hab ich mit innerer und äusserer Ableitung gerechnet (die äussere kommt dann halt im Zähler zu stehen und die innere wird im Nenner zum x der Ableitung vom Zähler hinzumultipliziert)... Und die x^3 habe ich nicht gekürzt, damit man den Weg verstand, aber scheinbar war's doch unverständlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

War nun wenigstens die Erklärung verständlich Hammer

Hammer

?

30.01.2006, 22:10

klarsoweit

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Nun gut. Aber da mit l'Hospital ranzugehen, ist vielleicht etwa oversized.
Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.01.2006, 07:38

vrenili

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Nochmal zu Terrapot,

Zitat:

Original von terrapot02
so

$\begin{eqnarray*} \frac{ln 2+ln(x)}{3*ln(x)}= \frac{ln 2}{3} \end{eqnarray*}$

Ich denke, Du hast da ganz heftige Defizite und damit ist es relativ schwierig, komplexere Aufgabenstellungen zu lösen, so wie diese hier.

Zum Kürzen: Es gibt da diesen Tollen Spruch
"Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!"
(nicht böse gemeint)

Du kannst bei einem Bruch nur Faktoren rauskürzen. Ganz ausführlich heisst das in diesem Fall Folgendes:

1. Mich persönlich stört die 3 im Nenner, also holen wir die erstmal vor:

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln{2}+\ln{x}}{3*\ln{x}}=\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln{2}+\ln{x}}{\ln{x}} \end{eqnarray*}$

2. Jetzt ziehen wir den Bruch auseinander (siehe "Addition von Brüchen"!!) und vereinfachen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \frac{\ln{2}+\ln{x}}{\ln{x}}=\frac{1}{3} \cdot (\frac{\ln{2}}{\ln{x}}+\frac{\ln{x}}{\ln{x}})=\frac{1}{3} \cdot (\frac{\ln{2}}{\ln{x}}+1) \end{eqnarray*}$

3. Jetzt kannst Du die Klammer wieder ausmultiplizieren, wenn Du magst:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot (\frac{\ln{2}}{\ln{x}}+1)=\frac{\ln{2}}{3\ln{x}}+\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Ist übrigens das gleiche, wie klarsoweit geschrieben hat, nur vielleicht einfacher für's Verständnis.

Jetzt musst Du noch den limes auf
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{\ln{2}}{3\ln{x}}+\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$
loslassen.

Als Tipp: guck Dir erst an, was ln(x) für x gegen unendlich macht, dann was mit
$\begin{eqnarray*} \frac{\ln{2}}{3\ln{x}} \end{eqnarray*}$ für x gegen unendlich passiert. Dann müsstest Du drauf kommen.

LG
Verena

31.01.2006, 11:22

Terrapot

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ok jetzt is klar dank eurer ausführlichen auswertung der aufgabe danke...
also ln x wird unendlich groß mit x gegen unendlich, d.h ln2/3*lnx +1/3 strebt gegen 0.... dann steht da e^0 und das ist gleich 1...

31.01.2006, 11:28

klarsoweit

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Nein, nein, nein! Wie kommst du auf das schmale Brett? verwirrt

verwirrt

Schau dir $\begin{eqnarray*} \frac{\ln{2}}{3\ln{x}} + \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ genau an. Deine Ausführungen gelten für den 1. Summanden. Da ist aber noch ein 2. Summand.

31.01.2006, 11:52

Terrapot

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ohhhhhh shit hast ja recht.... 0+1/3

31.01.2006, 13:23

vrenili

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Was ist also der Grenzwert der Funktion??

31.01.2006, 13:52

Terrapot

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e^1/3

31.01.2006, 14:15

Frooke

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@klarsoweit: Mag sein, dass ich da Kanonen auf Spatzen abfeuer, aber es ging halt schnell und bequem Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

EDIT: @terrapot: Stimmt!

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