Exponentialfunktion und was für eine

30.01.2006, 11:39

Niertz

Exponentialfunktion und was für eine

Hallo,

tüffte schon was länger an der folgenden Funktion. Könnt ihr mir da vielleicht helfen ?

$\begin{eqnarray*} 2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}=3^{x}+3^{x+1}+3^{x+2} \end{eqnarray*}$

Meine Ansätze sehen wie folgt aus:

1. Substitution $\begin{eqnarray*} u=2^{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=3^{x} \end{eqnarray*}$ .
=> u+2u+4u=v+3v+9v
<=> 7u = 13v |:7
<=> u=13/7v und v= 7/13u
Meiner Meinung nach ist das Schwachsinn.

2. Habe alle zahlen auf die linke Seite gezogen und dann ausgeklammert !?!
$\begin{eqnarray*} 2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}-3^{x}-3^{x+1}-3^{x+2}=0 \end{eqnarray*}$
<=> dann halt die logarithmen da rausgeholt und dann komme ich auf x=-1 was aber auch nicht passt.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Mfg

Niertz

30.01.2006, 11:58

MrPSI

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dein 1. Ansatz ist richtig gut. Bring aber u und v auf eine Seite. Dann setze wieder für u und v die alten Variablen ein. Danach kann man mittels Potenzgesetze weiter nach x umformen.

30.01.2006, 12:43

Gast0

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RE: Exponentialfunktion und was für eine

Zitat:

Original von Niertz
tüffte schon was länger an der folgenden Funktion.

welche funktion?

30.01.2006, 13:03

klarsoweit

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RE: Exponentialfunktion und was für eine
Erstmal die Gleichung umformen, daß da nur 2^x bzw. 3^x-Potenzen vorkommen. Dann durch 2^x dividieren und der Rest ist Fleißarbeit.

30.01.2006, 13:26

Niertz

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Hallo,

@MrPSI

habe jetzt mal ein bisschen weiter versucht und eingesetzt :

7u=13v
<=> 7u-13v=0
=> 7*2^x - 13*2^x=0

ja und hier häng ich wieder

<=> 7*(x*log(2))-13*(x*lg(3))=0

was soll ich jetzt machen etwas bei den beiden Subtrakten(oder wie das heißt x auslammern ?

<=> 7*x*log(2) - 13*x*log(3)=0
so jetzt habe ich keine ahnung

und
@klarsoweit

wie soll ich die umformen, etwa so ?
http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}=3^{x}+3^{x+1}+3^{x+2}
<=>2^x+2^x*2+2^x*2^2= .... usw

aber wie gehts dann weiter wie krieg ic hdie ganzen 2en und dreien da raus?

Mfg

Niertz

30.01.2006, 13:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Niertz
=> 7*2^x - 13*2^x=0

ja und hier häng ich wieder

<=> 7*(x*log(2))-13*(x*lg(3))=0

1. heißt es: $\begin{eqnarray*} 7 \cdot 2^x - 13 \cdot 3^x=0 \end{eqnarray*}$
2. Wie bist du auf die 2. Gleichung gekommen? verwirrt

Wie dem auch sei. Dividiere die 1. Gleichung durch 2^x.

PS: mein Lösungsweg führt auf dieselbe Gleichung nur ohne Umweg mit Substitution. Augenzwinkern

30.01.2006, 13:39

MrPSI

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ich hab das ein bisschen anders gemeint. du sollst 7u=13v so umformen, dass auf beiden Seiten Brüche stehen. Auf der einen muss dann ein Bruch mit u und v stehen, auf der anderen dann der Zahlenbruch. Dann wird wieder eingesetzt.

30.01.2006, 14:47

Niertz

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Hallo,

danke erst mal für die super Tips.

Jetzt habe ich zwei Ergebnisse raus.

@MrPSI

7u=13v
<=>u/v=13/7 | einsetzen
=> 2^x/3^x =13/7
<=> (2/3)^x = 13/7 |log
=> x*(lg(2)-lg(3)) = lg(13)-lg(7)

<=> x = lg(13)-lg(7) / lg(2)-lg(3) ist meine Rechnung so richtig ?

@klarsoweit

7*2^x - 13*3^x = 0| : 2^x
<=> 7 -13*1,5^x = 0 |:13
<=> 7/13 - 1,5^x = 0 | + 1,5^x
<=> 1,5^x = 7/13
=> x*lg(1,5) = lg(7) - lg(13)

<=> x= lg(7)-lg(13) / lg(1,5)

Ist das so richtig gemacht ?

@MrPSi und klarsoweit

Gehe ich recht in der Annahme, dass die beiden ergebnisse identisch sind?
Hätte ich nämlich aus 7u =13v 7/13 = v/u gemacht wäre wohl bei beiden,dass gleiche Ergebnis.

Danke an euch beide ihr wart echt ne super Hilfe.
Was mich jetzt noch interessieren würde, wie schnell seid ihr auf die Lösungsansätze gekommen ? Und habt ihr noch Tipps, wie auch ICh sowas lösen kann ?

Mfg

Niertz Wink

30.01.2006, 14:54

riwe

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ich hätte es halt so gemacht:
$\begin{eqnarray*} 2^{x}(1+2+4)=3^{x}(1+3+9)\Rightarrow \frac{7}{13}=(\frac{3}{2})^{x} \end{eqnarray*}$
ln(0.5385) = x ln(1.5)
werner

30.01.2006, 15:17

Niertz

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@wernerrin

kann man das denn einfach so machen ?

weil 2^x(1+2+4) ist doch gleich 2^x+4^x+8^x oder lieg ich da falsch ?

Mfg

Niertz

30.01.2006, 15:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von Niertz
weil 2^x(1+2+4) ist doch gleich 2^x+4^x+8^x oder lieg ich da falsch ?

Aber total! Rechne das doch mal zurück.

Was wernerrin geschrieben hat, ist im Prinzip die ganze Rechnung in einer Zeile zusammengefaßt. Das führt dann auch zu:
x= (lg(7)-lg(13)) / lg(1,5)

30.01.2006, 16:57

Niertz

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Hmm

keine Ahnung was für ein mathematisches Gesetz ich jetzt gebrochen habe.

Ich verstehe aber nicht wie er auf diese Gleichung kommt.

Mfg

Niertz

30.01.2006, 17:04

MrPSI

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im Grunde sind alle Lösungen von werner, klarsoweit und mir identisch. Nur der eine macht halt Substitution, der andere fasst mittels eines Logarithmusgesetztes noch einen Ausdruck zusammen, der andere spaltet wieder etwas auf.

zu deiner 2. Frage: ich bin auf den Ansatz ziemlich schnell gekommen, besonders da du den grössten Teil geliefert hast. Noch ein Tipp bei solchen Aufgaben: Übung, Übung und nochmal Übung! Ganz nach dem Motto "Übung macht den Meister!". Die Aufgabe läuft im Prinzip genauso ab, wie alle anderen Berechnungen auch: man versucht einfach das x auf eine Seite zu bringen und zu isolieren.

30.01.2006, 17:20

Niertz

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Hallo,

ich glaube mir ist jetzt kalr wie wernerrin das meinte.

2^x(1+2+4) = 1*2^x+2*2^x+4*2^x

und das ist ja analog zu : 2^x + 2^x+1 + 2^x+2

Juhuu, die Methoden muss ich mir mal merken.

Mfg

Niertz

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