Reihe konvergiert

30.01.2006, 13:16

Zumamann

Reihe konvergiert

Für welche x konvergiert die Reihe ?
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{2^{2n-1}\sqrt{9n+1}}{3^{n+2}\sqrt{4n+3}}* (x+5)^n \end{eqnarray*}$
das ist doch eine schöne Aufgabe... Kann mir da einer Ansätze geben? Umformen?Quotientenkriterium?Wurzelkriterium? oder was ganz anderes ? ich brauche Ansätze...

Vielen dank im Vorraus...

30.01.2006, 13:26

klarsoweit

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RE: Reihe konvergiert

Zitat:

Original von Zumamann
Quotientenkriterium? Wurzelkriterium?

Die wesentlichen Ansätze hast du doch genannt. Dann würde ich es mal mit einem ausprobieren.

30.01.2006, 13:38

Zumamann

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ok Quotientenkriterium

dann $\begin{eqnarray*} \frac{an+1}{an} =\frac{2^{2n}*\sqrt{9n+2}*(x+5)^{n+1} }{3^{n+3}*\sqrt{4n+4}} *\frac {3^{n+2}*\sqrt{4n+3}} {2^{2n-1}*\sqrt{9n+1}*(x+5)^{n} } \end{eqnarray*}$

das müsste richtig sein aber wie dann weiter, kein plan wie ich dann kürzen soll und so

30.01.2006, 13:55

klarsoweit

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Du hast nicht richtig a_(n+1) gebildet. Das heißt nicht 2^(2n), sondern ... ? Auch die Würzelausdrücke sehen anders aus.
Ansonsten jetzt kräftig kürzen.

30.01.2006, 15:19

Zumamann

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wäre denn an+1=

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{2n+1*}\sqrt{9n+3}*(x+5)^{n+1}}{3^{n+4}*\sqrt{4n+5}} \end{eqnarray*}$

richtig für an+1 oder welche terme sind falsch

30.01.2006, 15:22

klarsoweit

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Die folgenden Terme sind falsch. Ist das denn so schwer, statt n n+1 einzusetzen? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9n+3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3^{n+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4n+5} \end{eqnarray*}$

30.01.2006, 15:32

Zumamann

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{9n+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{n+3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{4n+4} \end{eqnarray*}$

oder wie jetzt

30.01.2006, 15:42

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Einfach nur $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einsetzen! Und da wird aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{9n+1} \end{eqnarray*}$ eben

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9(n+1)+1} = \sqrt{9n+9+1} = \sqrt{9n+10} \end{eqnarray*}$ .

30.01.2006, 16:35

Zumamann

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so das muß aber jetzt die Anwendung der Quotientenregel sein...
Aber jetzt mit der Vereinfachung bzw. Kürzen habe ich arge Probleme
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{2n+1}* \sqrt{9n+10}*(x+5)^{n+1}}{3^{n+4}*\sqrt{4n+9} } *\frac{3^{n+2}* \sqrt{4n+2}}{2^{2n-1}* \sqrt{9n+1}*(x+5)^{n}} \end{eqnarray*}$

30.01.2006, 16:38

klarsoweit

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Der 1. große Faktor stimmt immer noch nicht! unglücklich

Also das mit dem Einsetzen von n+1 für n hast du überhaupt nicht kapiert. Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{2n+1} \cdot \sqrt{9n+10} \cdot (x+5)^{n+1}}{3^{n+3} \cdot \sqrt{4n+7} } \end{eqnarray*}$
Und jetzt kannst du die Potenzen zu den Basen 2, 3 und (x+5) rauskürzen. Simple Potenzrechnung. Augenzwinkern

Und der 2. große Faktor ist auch nicht richtig. Es muß heißen:
$\begin{eqnarray*} \frac{3^{n+2}* \sqrt{4n+3}}{2^{2n-1}* \sqrt{9n+1}*(x+5)^{n}} \end{eqnarray*}$

30.01.2006, 16:58

Zumamann

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ok dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{(2n+1)-(2n-1)}*3^{(n+2)-(n+3)}*(x+5)^{(n+1)-n}*\sqrt{9n+10} \sqrt{4n+2} } {\sqrt{4n+9} \sqrt{9n+1} } \end{eqnarray*}$

so und das ist gleich
$\begin{eqnarray*} \frac{2^2*3^{-1}*(x+5)^{1}*\sqrt{9n+10} \sqrt{4n+2} } {\sqrt{4n+9} \sqrt{9n+1} } \end{eqnarray*}$

und was mach ich jetzt mit den Wurzeln?^1/2 oder wie ?

30.01.2006, 17:04

klarsoweit

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Warum muß ich das immer wieder korrigieren? unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{2^2 \cdot 3^{-1} \cdot (x+5)^{1} \cdot \sqrt{9n+10} \sqrt{4n+3} } {\sqrt{4n+7} \sqrt{9n+1} } \end{eqnarray*}$

So. Und jetzt bildest du den Grenzwert für n gegen unendlich.

31.01.2006, 11:50

Zumamann

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war ein schreibfehler...

ok das wäre dann ja

$\begin{eqnarray*} \frac{4 \cdot \frac{1}{3} \cdot(x+5)\cdot \sqrt[n]{\sqrt{9n+10}} \cdot \sqrt[n]{\sqrt{4n+2}}} {\sqrt[n]{\sqrt{4n+7}} \cdot\sqrt[n]{\sqrt{9n+1}}} =<br /> \frac{4 \cdot 1 \cdot(x+5)\cdot 1\cdot 1}{3\cdot1\cdot1} = \frac{4\cdot (x+5)}{3} =\frac{4x+5x}{3} \end{eqnarray*}$

das müsste jetzt aber stimmen... aber die Aufgabe hieß für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert diese Reihe....

was heißt das jetzt (Def-Bereich angeben?)

31.01.2006, 12:05

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Du stehst ganz offenbar mit dem Distributivgesetz $\begin{eqnarray*} a(b+c)=ab+ac \end{eqnarray*}$ auf Kriegsfuß. In fast jedem deiner Beiträge sind derartige Fehler!

Hier muss z.B. $\begin{eqnarray*} 4(x+5)=4\cdot x+4\cdot 5 = 4x+20 \end{eqnarray*}$ stehen.

31.01.2006, 12:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zumamann
$\begin{eqnarray*} \frac{4 \cdot \frac{1}{3} \cdot(x+5)\cdot \sqrt[n]{\sqrt{9n+10}} \cdot \sqrt[n]{\sqrt{4n+2}}} {\sqrt[n]{\sqrt{4n+7}} \cdot\sqrt[n]{\sqrt{9n+1}}} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf diesen Term? verwirrt

Du hattest doch das Quotientenkriterium angewendet und wir waren auf den Term $\begin{eqnarray*} \frac{2^2 \cdot 3^{-1} \cdot (x+5)^{1} \cdot \sqrt{9n+10} \sqrt{4n+3} } {\sqrt{4n+7} \sqrt{9n+1} } \end{eqnarray*}$ gekommen. Jetzt brauchen wir davon den Grenzwert für n gegen unendlich. Daraus erhält man dann eine Aussage, ob es ein q < 1 gibt, so daß der Betrag von diesem Term dauerhaft <= q < 1 ist.

01.02.2006, 13:14

Zumamann

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Ich habe daraus,

$\begin{eqnarray*} \frac{4x}{3} +\frac{20}{3} \end{eqnarray*}$

beide Brüche sind immer >1 , ausser wenn man im ersten Bruch für x eine 0 einsetzen würde... Was heißt das für Die Konvergenz der Reihe?
Sprich für welche x € R konvergiert die Reihe??

01.02.2006, 14:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zumamann
beide Brüche sind immer >1 , ausser wenn man im ersten Bruch für x eine 0 einsetzen würde... Was heißt das für Die Konvergenz der Reihe?
Sprich für welche x € R konvergiert die Reihe??

Was soll das sein? unglücklich

Wieso schaust du auf die einzelnen Brüche? verwirrt

Erstmal: Ich hätte es bei $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \cdot (x+5) \end{eqnarray*}$ belassen, wobei man davon noch den Betrag nehmen muß.

Wie nun weiter? Das Quotientenkriterium fragt danach, ob dauerhaft $\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid \leq q \end{eqnarray*}$
mit einem q < 1 ist. Dazu hilft uns der obige Grenzwert weiter. Wenn dieser kleiner einem q' < 1 ist,
dann gibt es auch ein q < 1 mit $\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid \leq q \end{eqnarray*}$ ab einem genügend großen n.
Du mußt jetzt also schauen, für welche x $\begin{eqnarray*} \mid \frac{4}{3} \cdot (x+5)\mid \leq q < 1 \end{eqnarray*}$ ist.

28.02.2006, 16:30

antykoerpa

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Ausgehend vom 1. Post, also der Reihe habe ich versucht einen anderen Weg zu gehen. Und zwar Umformung der Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{2^{(2n)} * 2^{(-1)} * (9n+1)^{\frac{1}{2}}} {3^n * 9 * (4n + 3)^{\frac{1}{2}}} \cdot (x+5)^n= \sum_{n=1}^\infty~\frac{2^{(2n)} * (9n+1)^{\frac{1}{2}}} {3^n * 18 * (4n + 3)^{\frac{1}{2}}} \cdot (x+5)^n = \frac{1}{18} \sum_{n=1}^\infty~\frac{2^{(2n)} * (9n+1)^{\frac{1}{2}}} {3^n * (4n + 3)^{\frac{1}{2}}} \cdot (x+5)^n \end{eqnarray*}$
Jedenfalls bin ich erstmal bis hier gekommen, aber nun stellt sich mir die Frage ob es hier überhaupt weiter geht, und ob es überhaupt sinnvoll ist, auf diese Art an die Aufgabe ranzugehen. Ich hatte den Geruch einer geometrischen Reihe in der Nase... Getäuscht? verwirrt

28.02.2006, 18:05

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Gewisse Ähnlichkeiten mit der geometrischen Reihe sind zwar vorhanden, aber es ist keine und auch mit weiteren Umformungen wird es keine werden.

28.02.2006, 18:53

antykoerpa

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dabei hat ich mir so viel mühe gegeben... traurig

01.03.2006, 08:59

klarsoweit

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Nun ja, ganz abwegig war der Gedanke ja nicht. Störend sind die Wurzelterme und wenn man die mal wegläßt, haben wir:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{2^{(2n)}} {3^n} \cdot (x+5)^n = \sum_{n=1}^\infty~(\frac{4 \cdot (x+5)}{3})^n \end{eqnarray*}$
Man kann jetzt argumentieren, daß für große n die Wurzelterme den Faktor 3/2 liefern und mit einer entsprechenden Abschätzung hat man dann eine geometrische Reihe. Da würde ich aber das Quotientenkriterium vorziehen.

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