Singulär stetige ZG / Wachstumspunkte

30.01.2006, 13:50	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Singulär stetige ZG / Wachstumspunkte Per Definition heißt eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ singulär stetig, falls die zugehörige Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_\xi \end{eqnarray}$ stetig auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist und die Menge der Wachstumspunkte von $\begin{eqnarray} F_\xi \end{eqnarray}$ eine Menge vom Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist. Dabei ist $\begin{eqnarray} x_0\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ ein Wachstumspunkt, falls für beliebiege $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} F_\xi(x_0+\varepsilon)-F_\xi(x_0-\varepsilon)>0 \end{eqnarray}$ . Bedeutet dies, dass $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ Wachstumspunkt ist, wenn $\begin{eqnarray} F_\xi \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ "unstetig" wächst? MaW: Gilt notwendigerweise $\begin{eqnarray} \lim_{x\uparrow x_0}F_\xi(x) < \lim_{x\downarrow x_0} F_\xi(x) \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ Wachstumspunkt von $\begin{eqnarray} F_\xi \end{eqnarray}$ ist?
30.01.2006, 14:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das gilt nicht. Aus der Verschiedenheit von links- und rechtsseitigem Grenzwert der Verteilungsfunktion an einer Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ folgt die Unstetigkeit der Zufallsgröße!
30.01.2006, 14:12	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind demnach die Wachstumspunkte einer Funktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ die Punkte wo $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ stetig wächst? Wenn dann die Menge der Wachstumspunkte eine Nullmenge ist, so ist die Funktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ doch fast sicher konstant, aber ist doch sicher nicht im Sinne der obigen Definition.
30.01.2006, 14:20	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir mal die Cantorsche Funktion an - sowas ist mit "singulär stetig" gemeint. Die Cantorsche Funktion ist fast überall konstant, aber dennoch stetig!
30.01.2006, 14:24	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir, Arthur. Da hatte ich eine grundsätzlich falsche Vorstellung von fast sicher konstanten Funktionen. Nun ist einiges klarer!

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