Grenzwert

30.01.2006, 14:48	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Wie kann ich denn den Grenzwert bei dieser Funktion bestimmen? $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x-\sqrt{x}}) \end{eqnarray}$ Grenzwertsätze helfen mir nicht. Ich weiß das $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} \sqrt{x}=\infty \end{eqnarray}$ , aber das hilft mir auch nicht. Kann mir jemand einen Tipp geben? lg
30.01.2006, 14:59	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Erweitere in etwa so: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x-\sqrt{x}})=\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x-\sqrt{x}})(\sqrt{x+\sqrt{x}} + \sqrt{x-\sqrt{x}})}{(\sqrt{x+\sqrt{x}} + \sqrt{x-\sqrt{x}})} \end{eqnarray}$ Und wende nun eine der binomischen Formeln an, und klammere im Zähler und im Nenner $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ aus. Dann müsste es klappen.
01.02.2006, 12:27	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert hallo dual-space! Danke für deine Antwort. Noch habe ich den Knackpunkt nicht entdeckt. Ich führe mal fort: $\begin{eqnarray} =\lim_{x\to\infty} \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt noch $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ ausklammere, dann erhalte ich $\begin{eqnarray} =\lim_{x\to\infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}} \end{eqnarray}$ Und der Grenzwert ist 2. Aber das stimmt nicht. Wenn ich mir die Funktion anschaue, dann konvergiert sie gegen 1. Wo ist mein Fehler? EDIT: danke für den Hinweis. hab's korrigiert. hatte es falsch eingetippt.
01.02.2006, 12:29	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
da muss ein + im nenner stehen, in deiner letzten gleichung. (so steht da übrigens 2/0 ...) mfG 20
01.02.2006, 17:26	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß ja nicht, ob das jetzt schon klar ist, da du es vermutlich ja schon so auf deinem zettel hattest, scheint die verwirrung woanders herzukommen: der grenzwert ist nicht 2, sondern relativ eindeutig 1, denn der nenner geht doch gegen wurzel1+wurzel1=2
01.02.2006, 18:06	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
also kann ich $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0 \end{eqnarray}$ einfach so einsetzen? Ich hätte gedacht, dass das nicht so einfach geht, weil der Ausdruck noch durch die Wurzel "geschützt" ist. dann ist es nämlich klar.
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01.02.2006, 18:11	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, das $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty}~\sqrt{x}=\infty \end{eqnarray}$ gilt, sollte dir klar sein! das ergo 1/... als grenzwert 0 hat..... naja, jetzt isses klar und den ausdruck "geschützt" mag ich mfg jochen
01.02.2006, 18:15	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
danke euch!

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