Substitution bei einer Integralrechnung

27.04.2004, 21:30

Sca185

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Substitution bei einer Integralrechnung

Ich bräuchte dringend Hilfe bei der Substitution einer Integralrechnung.
Die Formel ist $\begin{align*} \Bigint_{0}^1~\frac{1}{1+\sqrt{x}}~dx \end{align*}$ .
Die Substitution ist x(t)=t²
Herauskommen soll letztendlich $\begin{align*} ln\(\frac{e}{2}\)^2 \end{align*}$ .
Ich hab jetzt versucht, das nach der Substitution mit der Produktregel der Integration zu lösen, aber zum einen müsste ich diese dann anscheinend unendlich oft anwenden, und ausserdem muss ich irgendwie einen natürlichen Logarithmus mut e herauskriegen. Mit dem TI89 bekomme ich auch eine Formel heraus, die nach dem Gleichsetzen identisch mit der erwarteten Lösung zu sein scheint, aber ich möchte eigentlich wissen, wie ich ohne einen Taschenrechner auf das ergebnis kommen kann....

Es währe echt nett, wenn mir jemand helfen könnte....

27.04.2004, 21:35

Deakandy

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RE: Substitution bei einer Integralrechnung
Ist das Integral nach der Substitution nicht irgendwas mit den arcus funktionen???
Also ich meine $\begin{align*} \Bigint~{\frac {1} {1+x^2}~dx=arctan(x) \end{align*}$

27.04.2004, 22:10

Sca185

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Hm, nicht nach meiner bisherigen Rechnung jedenfalls...

27.04.2004, 22:29

Leopold

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Tip: $\begin{align*} \frac{2t}{1+t} \ =\ \frac{2(1+t-1)}{1+t} \ =\ 2- \frac{2}{1+t} \end{align*}$

27.04.2004, 22:42

Deakandy

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Aber mein Integral ist trotzallem richtig smile

smile

Aber der Tip von leo ist auch ne lustige Sache ...wäre ich nicht so drauf gekommen

27.04.2004, 22:42

Irrlicht

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RE: Substitution bei einer Integralrechnung

Zitat:

Original von Sca185
$\begin{align*} \Bigint_{0}^1~\frac{1}{1+\sqrt{x}}~dx \end{align*}$ .
Die Substitution ist x(t)=t²
Herauskommen soll letztendlich $\begin{align*} ln\(\frac{e}{2}\)^2 \end{align*}$ .

Nach der Substitution hast du das Integral
$\begin{align*} \Bigint_{0}^1~\frac{2t}{1+t}~dt \end{align*}$
(die Grenzen sind dabei mitsubstituiert ;-))

Mit partieller Integration erhälst du
$\begin{align*} 2t\ln(1+t)|_0^1 - 2\bigint_0^1\ln(1+t)dt \end{align*}$

Jetzt musst du nur noch die Stammfunktion von ln(x) kennen und ausrechnen.

Ok, man muss nicht partiell machen.
Leopold hat immer gute Ideen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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28.04.2004, 09:29

Sca185

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Ja, vielen dank, ich guck mal, ob ich das so schaffe. :]

28.04.2004, 10:01

Deakandy

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RE: Substitution bei einer Integralrechnung

Zitat:

Original von Deakandy
$\begin{align*} \Bigint~{ln(x)}~dx=\Bigint~{1\cdot ln(x)}~dx \end{align*}$
$\begin{align*} u(x)=ln(x) \ \ \ \ v(x)=x \end{align*}$
$\begin{align*} u'(x)=\frac {1} {x} \ \ \ \ \ \ \ \ v'(x)=1 \end{align*}$
Nach der partiellen Integration
$\begin{align*} u(x)\cdot v(x)-\Bigint~{u'(x)\cdot v(x)}~dx \end{align*}$
Eingesetzt
$\begin{align*} ln(x)\cdot x-\Bigint~{\frac {1} {x}\cdot x}~dx \end{align*}$
$\begin{align*} x\cdot ln(x)-\Bigint~{1}~dx \end{align*}$
$\begin{align*} x\cdot ln(x)-x \end{align*}$

28.04.2004, 20:51

Sca185

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Die Integration von ln(x) leuchtet mir ein.
Auch die Substitution von Irrlicht verstehe ich, das habe ich sogar selber geschafft. Aber was dann nach der partiellen Intgration kommt, verstehe ich nicht. Ich schreibe mal in " ", was ich nicht verstehe:
$\begin{align*} \[2tln\( "1+t" \) \]_{0}^1 - "2" \Bigint_{0}^1~ln\( "1+t" \)~dx \end{align*}$
Warum muss denn 1+t nicht integriert werden?
ln von x ist die Hochleitung von 1/x, das verstehe ich, das ist in diesem Fall v'.
u ist 2t und die Ableitung ist 2. Wird 2 ausgeklammert, weil sie eine Konstante ist?

28.04.2004, 20:58

Irrlicht

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Die 2 kommt von der Ableitung von 2t und um zu ln(1+t) zu kommen hab ich 1/(1+t) integriert. Da könnte man noch ausführen, dass ich da g'schwind s=1+t substituiert habe und dann 1/s integriert hab. Rücksubstituierten. Fertig.

Alle Klarheiten beseitigt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.04.2004, 21:06

Sca185

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Ach so.
Braucht man beim rücksubstituieren denn 1+t nicht auch noch irgendwie zu substituieren?

28.04.2004, 22:31

Irrlicht

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Das kannst du machen, aber da wir nur an einem bestimmten Integral (*g* ich liebe diese Wortspiele) interessiert sind, musst du vorher nicht mehr rücksubstituieren. Am Wichtigsten ist dann halt, dass du beim substituieren guckst, was die neuen Grenzen sind. In diesem Fall ändert sich da aber nichts und es bleibt alles ganz hübsch. smile

smile

28.04.2004, 22:49

Sca185

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Klasse, das hab ich kapiert, hat auch geklappt. Tanzen

Tanzen

Ich verstehe jetzt nur nicht, wie der Tip von Leopold funktioniert und wie man den anwenden könnte..
Vom ersten Bruch auf den zweiten ist ja alles klar, aber ich bleibe beim zweiten auf den dritten Bruch hängen...
Wendet man danach auch partielle Integration an? verwirrt

verwirrt

28.04.2004, 22:54

Irrlicht

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Das geht so
$\begin{align*} \frac{2(1+t-1)}{1+t}=\frac{2(1+t)-2}{1+t}=2-\frac{2}{1+t} \end{align*}$

Dein Integral kannst du dann also auseinanderziehen und für das zweite Integral musst halt noch 1+t substituieren - sofern du das nicht im Kopf kannst - aber du ersparst dir eine partielle Integration. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.04.2004, 23:02

Sca185

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Gott

Da hätt ich eigentlich auch selber rauf kommen künnen... Schläfer

Schläfer

Na gut, im Kopf ziehen reicht wohl auch nicht, ich muss das alles aufschreiben, aber trotzdem danke. Vielleicht kann ich es ja jetzt endlich alleine... 8) smile

smile

29.04.2004, 12:00

Sca185

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Ich hab da noch ne ander Frage: Ich hab ne Aufgabe, aber als ich versucht habe die zu lösen, war der Rechenweg viel zu kurz, finde ich.
$\begin{align*} \Bigint_{1}^a~\frac{x}{\sqrt{1-x^4 } } ~dx \end{align*}$
Die obere Grenze ist 1/Wurzel von 2

Ich hab das jetzt mit $\begin{align*} x\(t\)=\sqrt{t} \end{align*}$ substituiert.
Dann kam $\begin{align*} \Bigint_{1}^a ~\frac{1}{\sqrt{1-x^2 }}*\frac{1}{2} ~dx \end{align*}$ mit der oberen grenze 1/2 heraus.
Ganz am Schluss kam $\begin{align*} -\frac{pi}{3} \end{align*}$ heraus. Einmal ist komisch, das ne negative zahl herauskommt, andereseits bin ich mir bei dem Ergebnis an und für sich überhaupt nicht sicher. Hilfe

Hilfe

unglücklich

29.04.2004, 12:17

Leopold

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Integration durch Substitution
Meiner Meinung nach ist alles korrekt.
Und es muß auch etwas Negatives herauskommen, denn der Integrand ist über dem Integrationsbereich zwar positiv, aber die Integration geht von rechts nach links, also quasi rückwärts; denn die untere Grenze (Startgrenze) ist größer als die obere Grenze (Endgrenze). Dies bewirkt die Vorzeichenumkehrung.

29.04.2004, 12:26

Sca185

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Hm, gut, danke. :]
Wieder eine andere Frage:
Ich suche die ganze zeit im Internet etwas, was mir sagt, wie ich ein Integral lösen kann, in dem das "dx" mit in die Formel einbezogen wurde, in meinem Fall über dem Bruchstrich...

Ich finde aber nichts. Könnt ihr mir da vielleicht weiterhelfen? Notfalls wäre ein Link schon mal ganz hilfreich.... smile

smile

29.04.2004, 12:57

Leopold

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Ich weiß nicht genau, was du meinst, aber vielleicht ist es nur dieses:

$\begin{align*} \Bigint_{}^{}~\frac{dx}{g(x)}~ \end{align*}$ ist nur eine andere Schreibweise für $\begin{align*} \Bigint_{}^{}~\frac{1}{g(x)}~\ dx \end{align*}$ .

29.04.2004, 13:04

Sca185

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Genau das meinte ich. :] smile

smile

Wie kann man am besten das Integral bei der Bogenlänge ausrechnen? Ich scheitere schon immer an der Wurzel traurig

traurig

.
L= $\begin{align*} \Bigint_{a}^b~\sqrt{1+\(f'(x)\)} ~dx \end{align*}$
Man kann das doch nicht einfach partiell integrieren, oder?
geschockt

geschockt

29.04.2004, 17:20

Sca185

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Ach so, ne Funktion, die ich da einfügen soll, ist u.a.
$\begin{align*} g(x)=1/8x^2-ln(x) \end{align*}$
Die Ableitung ist ja ganz einfach 1/4x-1/x, einsetzen natürlich auch, aber wie ich dann weitermachen soll, weiß ich beim besten Willen nicht.

29.04.2004, 18:01

Leopold

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Bei der Bogenlänge muß es unter der Wurzel 1+(f'(x))² heißen.

29.04.2004, 18:21

Sca185

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Ja, meinte ich auch verwirrt

verwirrt

geschockt

smile

29.04.2004, 18:27

Leopold

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Im Radikanden 1/16 ausklammern. BINOMISCHE FORMEL!

29.04.2004, 19:52

Sca185

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was ist denn ein Radikand? Und welche binomische Formel meinst du? verwirrt

verwirrt

29.04.2004, 19:54

Deakandy

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Radikant ist das was unter der Wurzel steht

29.04.2004, 20:56

Sca185

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Ach so.
Aber wie kann ich denn eine binomische Formel auf eine Wurzel beziehen? verwirrt

verwirrt

29.04.2004, 21:13

Deakandy

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Naja wenn da
$\begin{align*} 1-x^2 \end{align*}$ steht , dann ist das $\begin{align*} (1-x)(1+x) \end{align*}$
vl sowas in der richtung

29.04.2004, 21:49

Leopold

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Bogenlänge
$\begin{align*} x^2 + \frac{16}{x^2} + 8 \ =\ \(x + \frac{4}{x} \)^2 \end{align*}$

oder auch

$\begin{align*} \frac{1}{16} x^2 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{2} \ =\ \(\frac{1}{4} x + \frac{1}{x}\)^2 \end{align*}$

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