Mal wieder Konvergenz...

30.01.2006, 15:05

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Mal wieder Konvergenz...

Hallo,

habe folgende Aufgabe, allerdings komm ich nicht so wirklich auf das richtige Ergebnis...

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(n+1)(9n+5)} -3n+2 \end{eqnarray*}$

Das Ding soll man doch mit dem 3. Binom erweitern, dass man die Form $\begin{eqnarray*} \infty -\infty \end{eqnarray*}$ wegbekommt und dann den Nennergrenzwert bestimmen kann, oder? Laut Mupad soll der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ gehen.

Was ist eigentlich das 3. Binom von dem Ausdruck? Und muss ich das vom ganzen Ausdruck nehmen? Da hätt ich zur Auswahl *g*:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(n+1)(9n+5)} +3n+2 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(n+1)(9n+5)} +(-3n-2) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(n+1)(9n+5)} +(-3n) \end{eqnarray*}$
und die 2 dann nicht mit rein nehmen?!

30.01.2006, 15:09

Dual Space

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RE: Mal wieder Konvergenz...
Ich denke, dass hier könnte als Erweiterung taugen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(n+1)(9n+5)} +3n \end{eqnarray*}$

30.01.2006, 15:26

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hm ok wenn ich das gemacht habe kommt dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(9n-5)-9n^{2}+2\sqrt{(n+1)(9n-5)}+6n }{\sqrt{(n+1)(9n-5)}+3n } \end{eqnarray*}$

raus, oder? Weil die 2 muss ich ja dann auch mal nehmen...
Wie mach ich nun weiter?!?

oh, sorry hab mich oben vertippt, das heißt (9n-5) unter der wurzel

30.01.2006, 15:29

Dual Space

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Die 2 würde ich mal ganz aus der Grenzwertbildung rauslassen und zum Schluss zum berechneten GW addieren.

30.01.2006, 15:32

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ja ok dann eben

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(9n-5)-9n^{2}}{\sqrt{(n+1)(9n-5)}+3n } \end{eqnarray*}$

und dann?

30.01.2006, 15:41

Dual Space

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Den Zähler ausmultiplizieren und n in Zähler und Nenner ausklammern. Dann steht es da!

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30.01.2006, 15:48

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ähm also ausmultiplizieren...

$\begin{eqnarray*} \frac{4n-5}{\sqrt{9n^{2}+4n-5 }+3n } \end{eqnarray*}$

was mach ich dann??

30.01.2006, 15:53

Dual Space

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Zitat:

Original von Dual Space
Den Zähler ausmultiplizieren und n in Zähler und Nenner ausklammern. Dann steht es da!

30.01.2006, 15:59

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ja wie will ich da was ausklammern?

30.01.2006, 16:20

Dual Space

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$\begin{eqnarray*} \frac{n[4-\frac{5}{n}]}{n\left[\sqrt{9+\frac{4}{n} - \frac{5}{n^2}}+3\right]} \end{eqnarray*}$

30.01.2006, 16:27

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aha ja ok, also ich hab das immer durch die höchste Nennerpotenz dividiert bzw. mit 1/n mal genommen. Das käme dann aufs selbe raus, dann ist alles klar. Dann kommt 4/6 raus und dann zähl ich die 2 noch dazu dann hab ich die 8/3...

30.01.2006, 16:27

Denjell

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$\begin{eqnarray*} \frac{n*(4-\frac{5}{n})}{n*(\sqrt{9+\frac{4}{n}-\frac{5}{n^{2}} }+3) } \end{eqnarray*}$

n kürzen alles was n im nenner hat wird zu 0 beim grenzwert, am ende noch 2 draufaddiern

edit: zu langsam :-)

30.01.2006, 16:34

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macht nix dank dir trotzdem :-)

30.01.2006, 16:38

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aber nochmal kurz was, wenn ich das aber mit der 2 oben mach dann komm ich trotzdem auf 4/6. Und net auf die 8/3. Wie kommt das?

30.01.2006, 16:41

Denjell

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4/6=2/3

2/3+2=8/3

oder was meinst du?

30.01.2006, 16:52

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ne oben wenn ich das hier nehm mit der 2 und die nicht weg lass:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(9n-5)-9n^{2}+2\sqrt{(n+1)(9n-5)}+6n }{\sqrt{(n+1)(9n-5)}+3n } \end{eqnarray*}$

dann wird das dann zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{4n-5+2\sqrt{9n^{2}+4n-5 }+6n}{\sqrt{9n^{2}+4n-5}+3n } \end{eqnarray*}$

dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{10n-5+2\sqrt{9n^{2}+4n-5 }}{\sqrt{9n^{2}+4n-5}+3n } \end{eqnarray*}$

und dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{10-\frac{5}{n} +2\sqrt{9+\frac{4}{n} -\frac{5}{n^{2}} }}{\sqrt{9+\frac{4}{n}-\frac{5}{n^{2}}}+3 } \end{eqnarray*}$

das gibt doch dann auch $\begin{eqnarray*} \frac{4}{6} \end{eqnarray*}$

30.01.2006, 17:01

Denjell

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wieso im zähler steht doch dann 10+2*sqrt(9) = 16, im nenner bleibts 6, 16/6=8/3

30.01.2006, 17:03

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ach du sch****, ich hab mich irgendwie auf das - verguckt und dann 10-6 gerechnet. Ok danke!

30.01.2006, 18:50

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so die nächste wo ich mal wieder stecken bleib...

$\begin{eqnarray*} n(2n-2-\sqrt{(1-2n)(3-2n)}) \end{eqnarray*}$

wenn ich da dann so wie vorhin vorgeh hab ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(4n-3-2\sqrt{4n^{2}-8n+3})}{2n+\sqrt{4n^{2}-8n+3}} \end{eqnarray*}$

jetzt könnt ich das wieder so machen wie vorher nur hab ich dann raus $\begin{eqnarray*} \frac{n*0}{4} \end{eqnarray*}$ also das n oben geht nicht weg, wenn ich mit 1/n erweitere. Rauskommen müsste 1/4

30.01.2006, 19:06

klarsoweit

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Das soll stimmen? verwirrt

verwirrt

Womit hast du denn erweitert?

30.01.2006, 19:10

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also die Aufgabe am Anfang mit $\begin{eqnarray*} 2n+\sqrt{(1-2n)(3-2n)} \end{eqnarray*}$

dann zammengerechnet dann bin ich bei dem 2. gelandet, wenn das so stimmt...

30.01.2006, 19:12

Dual Space

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Diese Erweiterung wird dir bei dieser Aufgaeb nix bringen.

30.01.2006, 19:14

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hmm... wie fang ich dann an?

30.01.2006, 19:22

Dual Space

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Sorry, aber auf die Schnelle fällt mir auch nichts sinnvolles ein.

30.01.2006, 19:38

Mathespezialschüler

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Worum genau geht es jetzt? Vielleicht kann ich ja helfen.

Gruß MSS

30.01.2006, 19:44

Dual Space

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@MSS: Es geht um die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n(2n-2-\sqrt{(1-2n)(3-2n)}) \end{eqnarray*}$ .

30.01.2006, 19:50

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jo wie man da anfängt

30.01.2006, 19:52

Dual Space

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@flush: Ich weiß noch nicht, ob wir das hier brauchen können, aber kennst du die Regel von L'Hospital? Und dürftst du sie hier verwenden?

30.01.2006, 19:57

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naja ein wenig, wie ich das aber da anwenden könnte weiß ich auch nicht. Aber ich glaube das müsste auch ohne die gehen...

30.01.2006, 20:15

Dual Space

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@flush: Könntest du bitte noch mal überprüfen, ob du die Aufgabe auch richtig abgeschrieben hast?

Der Plot lässt nämlich vermuten, dass dieser Ausdruck nicht konvergiert:

Edit: Plot berichtigt ... danke Lazarus!

Edit2: Damit scheint die Aufgabe doch zu stimmen!

30.01.2006, 20:42

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bei mir sieht das anders aus, also ich habs mal im Taschenrechner eingegeben. Was hast du denn für ein Plotterprogramm? Abgeschrieben hab ichs schon richtig. Und Mupad sagt auch dass es gegen 1/4 geht.

30.01.2006, 20:46

Dual Space

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Ansage

MSS - bring doch mal Licht ins Dunkel! Big Laugh

Big Laugh

Ich weiß auch nicht mehr, was hier wohin konvergiert und mach Schluss für heute. Wink

Wink

30.01.2006, 20:47

Lazarus

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Zitat:

Original von Dual Space
[....]

[...]

der plott müsste so aussehn.
auch hier schreibt man den bruche im exponenten so: (1./2.)

30.01.2006, 20:52

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ja so siehts bei mir auch aus

30.01.2006, 22:06

klarsoweit

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Wenns um $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n(2n-2-\sqrt{(1-2n)(3-2n)}) \end{eqnarray*}$ geht, dann würde ich mit $\begin{eqnarray*} (2n-2+\sqrt{(1-2n)(3-2n)} \end{eqnarray*}$ erweitern. Dann wie üblich 3. binomische Formel. Obs konvergiert, wird man dann sehen.

31.01.2006, 00:17

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ok danke, mit dem klappts... 1/4 kommt raus, Mupad irrt sich normal auch net ;-)

31.01.2006, 02:09

Mathespezialschüler

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L'Hospital ist sehr übertrieben, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ stimmt aber.

.

Gruß MSS

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