Vertrauensintervall für Erwartungswert

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aRo Auf diesen Beitrag antworten »
Vertrauensintervall für Erwartungswert
Hallo!

Wir sind jetzt beim Thema: Schätzen des Erwartungswertes.

1. Gibt es dafür einen Fachbegriff? In meinen Büchern habe ich dazu leider nichts gefunden unglücklich


Dann haben wir folgende Aufgabe bekommen:

Es geht glaube ich um das Gewicht von Papier (war wieder schnell diktiert). Also man hat 121 Gewichtsproben entnommen.

dabei kam folgendes raus:

Gewicht/m² in g : 50 51 52 53 54 55
absolute Häufigk.: 18 34 28 20 13 8


Die Vertrauenszahl soll 95% betragen.

also erstmal muss ich mir wohl verschaffen, wie mir scheint.
Da gehts ja schon los traurig Ich versteh auch immer das ganze mit dem großen und dem kleinen nicht. was ist denn da was?
Ich vermute dass ich errechnen muss, aber wie?

hmzhmz...ich glaub dieses thema muss nochmal jmd. mit mir von vorne aufrollen unglücklich

aRo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vertrauensintervall ist schon der richtige Begriff, oft auch Konfidenzintervall genannt.

Die Frage ist jetzt, für welche Größe du jetzt ein Vertrauensintervall bestimmen willst. Dazu brauchst du ein zugrunde liegendes Modell für dein Papiergewicht, z.B. Normalverteilung . Dann kannst du aus der Stichprobe ein Konfidenzintervall für schätzen.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

hi!

also unter dem Begriff Konfidenzintervall habe ich nur das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten gefunden..

Also das zugrunde liegende Modell dürfte die Normalverteilung sein, wie du sie angegeben hast.

ich kann ja gerade mal hier die ersten zeilen aufschreiben, was ich heute in nem eiltempo abgeschrieben habe (ich glaube da könnte sogar ein Fehler drin stecken):

(was auch immer das heißen soll?!)

ich nehme an, dass ist irgendwie das Intervall, dass mit dieser Vertrauenszahl überdeckt...

Dann noch:
x sei NV mit ,
und ist NV mit und


da ist bestimmt irgendwie was verdreht mit groß X und klein x....aber ich weiß ja eh nicht, was was ist...

aRo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
(was auch immer das heißen soll?!)

ist der Mittelwert der mathematischen Stichprobe (also eines Zufallsvektors) und damit eine Zufallsgröße.

Beobachtbar ist davon nur eine Realisierung, also die konkrete Stichprobe und deren Mittelwert .

Zu schade, dass über diesen Unterschied in der Lehre oft hinweggegangen wird. Etwas mehr Gründlichkeit an dieser Stelle würde nämlich dem Verständnis vieler Sachen in der Statistik sehr dienlich sein!!!

Zitat:
Original von aRo
ich nehme an, dass ist irgendwie das Intervall, dass mit dieser Vertrauenszahl überdeckt...


Man wählt so, dass ist. Das bedeutet dann nämlich, dass in 95% der Realisierungen dieses Intervalls das tatsächliche enthalten ist.

Beachte genau, wann ich und wann verwendet habe!

Der Rest ist Umformerei: Wenn , dann ist und es folgt



Und daraus lässt sich dann das ermitteln.

Also nochmal:

Konfidenzschätzer:
Konfidenzschätzung:

(Wird sonstwo kaum so sorgfältig getrennt, ich weiß.)
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

puuhh...mir schwirrt langsam der kopf Augenzwinkern

also bin mir nicht sicher, ob ich das jetzt alles verstanden habe:

Zitat:
ist der Mittelwert der mathematischen Stichprobe (also eines Zufallsvektors) und damit eine Zufallsgröße.


Hmm...ich weiß nicht so recht, was ich mir darunter vorstellen soll. mit dem kleinen x kann ich denk ich Augenzwinkern

in meinem Fall, oder?


Ich kann ja mal kurz aufschreiben, wie wir angesetzt haben (direkt am Anfang bin ich mir nämlich jetzt immer noch unschlüssig was fürn x dahin muss):

ersteinmal wird ein Z eingeführt:

so, ich hoffe das habe ich jetzt alles richtig aufgeschrieben.

Dann wird fortgefahren:


das wird nach umgeformt und dann anschließend gesetzt.....hmm, moment. dann müsste oben doch immer das kleine x gestanden haben.... verwirrt

Also geht man an der Stelle davon aus, dass ein guter Näherungswert für sei?




Nochmal zur konkreten Aufgabe:
wenn ich jetzt bestimtm habe, weiß ich aber immer noch nicht, wie ich an mein Sigma komme...steh immer noch aufm Schlauch, entschuldige...

aRo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Man unterscheidet zwischen Situationen mit bekannter und unbekannter Varianz .

Ersteres habe ich oben dargestellt, da bastelt man sich das Konfidenzuntervall auf der Grundlage von



Bei dir (vermute ich mal) trifft nun aber eher die zweite Situation zu, d.h., es ist nicht die Varianz der Zufallsgröße, sondern nur deren Schätzung - die Stichprobenvarianz - bekannt. Vermutlich ist es das, was du nennst, üblich ist eher oder . In diesem Fall betrachtet man dann



das ist eine t-verteilte Zufallsgröße mit (n-1) Freiheitsgraden. Aus erhält man dann durch Umformung das Konfidenzintervall für .
 
 
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich glaube um diese art aufgabe handelt es sich.

Ich muss also die Stichprobenvarianz bestimmen als ersten Schritt, oder?

Aber bereits hier hänge ich ja schon. Ich weiß nicht, wie ich diese Stichprobenvarianz aus meiner obigen Tabelle ausrechnen kann..
also bitte erstmal nur dabei bleiben, ich krieg sonst gar nix mehr auf die reihe hier Augenzwinkern

aRo
Teutone Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es geht hier um das Vertrauensintervall bei unbekannter Varianz und großem Stichprobenumfang. Benutzt ihr zufällig das Buch "Lambacher Schweizer Stochastik Leistungskurs" ? Denn in diesem steht diese Aufgabe als Beispiel drin. (Es geht um Transparentpapier...)

edit: hab dir ne PM gesandt...
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

ja "benutzen" wir. also wir haben es, machen aber nix damit...

und ich bin ja selbst zu blöd das thema in dem buch zu finden! könntest du mir die seiten sagen, das wär super klasse!!

aRo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Stichprobe ist



Hat man dagegen die Werte mit den Vielfachheiten gegeben, dann kann man das so schreiben



Jetzt klar?
Teutone Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich mal kurz zusammenfassen darf Augenzwinkern :



Die Lage des Intervalls wird wesentlich von der Stichprobe bestimmt und ist damit zufällig. Intervalle dieser Form heißen Vertrauensintervalle.


Schema für normalverteilte und bekannte :

1. Wie groß sind Stichprobenumfang , der Mittelwert und die Vertrauenszahl ?

2. Welcher Wert für ergibt sich aus: ?

3. Welche Intervallgrenzen ergeben sich aus: und ?

Bei großem Stichprobenumfang (Richtwert: ist die aus der Stichprobe errechnete Standardabweichung als Schätzwert für verwendbar.

1. Es ist

2. Aus folgt

3. Einsetzen und Vertrauensintervall:
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

hi ihr beiden!

ich habe es jetzt hinbekommen, aber dennoch einige Fragen:

Arthur, ich habe es jetzt hinbekommen nach deiner ersten Formel zu errechnen, nämlich im Prinzip so:



komme dann auch auf

1.Wieso muss ich in der Formel verwenden? Wieso nicht durch n? Der Rest erscheint mir logisch.


2. Ich setzt ja dann ja alles am Schluss in dieses Vertrauensintervall ein. Um aber auf die korrekten Grenzen zu kommen, muss ich einsetzen. Ich dachte aber, dass es in dem Intervall um geht und nicht um ? Also dass man irgendwie einsetzten müsste...


aRo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
1.Wieso muss ich in der Formel verwenden? Wieso nicht durch n?

Siehe hier .
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