Unterschied zw. spez. und allg. Lösung der inhomogenen DGL

30.01.2006, 16:09

Gast2

Unterschied zw. spez. und allg. Lösung der inhomogenen DGL

In allen Büchern die ich habe wird nirgends zwischen einer allgemeinen / speziellen Lösung einer DGL (1. Ordnung) gesprochen, bzw. unterschieden. Wo genau liegt der Unterschied?

30.01.2006, 16:44

sdauth

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo!

ich kann mich auch irren, aber bei der allgemeinen lösung hast du noch unbestimmte konstanten (im falle einer dgl 1. ordnung eine), die du mit hilfe von anfangs- oder randbedingungen bestimmen musst.
dadurch erhältst du dann die spezielle lösung.

30.01.2006, 16:50

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zuerst bestimmt man die Allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung, d.h. die alleinstehende Funkt. B(x) oder A(x) wird = 0 gesetzt.

Wenn man diese nun durch y_o teilt, hat man eine spezielle Lösung der inhomogenen Gl. , nennen wir sie y_1.

Mit y_1 widerum findet man eine weitere spezielle Lösung der inhomogenen Gl.

Und die Summe aus y_1 + y_2 nennt man dann die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

Hier sind 2 Links in denen es ausführlicher und genauer erklärt wird:

Link1

Link2

mfg, phi

(edit Jochen: habe den zweiten Post gelöscht, den du wohl wegen "Hängen" des Boardes doppelt geschickt hattest.)

30.01.2006, 21:29

Gast2

Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz versteh ichs nicht, z.B. was ist y_0? Ich rechne die aufgabe jetz einfach mal vor, dann kannst mir ja sagen, was was ist smile

$\begin{eqnarray*} y'-2\frac{y}{x}= x^{3} e^x \end{eqnarray*}$

Lösung der homogenen DGL:
$\begin{eqnarray*} y0=x^{2}*C \end{eqnarray*}$

Variation der Konstanten:
$\begin{eqnarray*} K(x)=xe^x-e^x \end{eqnarray*}$

Eingesetzt ergibt das:
$\begin{eqnarray*} y=x^{3}e^x-x^{2}e^x \end{eqnarray*}$

Was ist da nun was, bzw. braucht noch was rechnen?

edit jochen: latex hier korrigiert und korrekturpost gelöscht
zweiter edit von Jochen: bitte verwende nicht ´ sondern ', sonst sehen firefox-user eine hochgestellte 4, habe auch das geändert

31.01.2006, 02:06

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

guten morgen

deine DGL ist nach umstellen eine DGL der Form $\begin{eqnarray*} y'=f(x)*y+g(x) \end{eqnarray*}$

die homogene DGL dazu ist $\begin{eqnarray*} y'=f(x)*y \end{eqnarray*}$ , sie wird von $\begin{eqnarray*} y_{hom}=e^{\int~f(x)~dx} \end{eqnarray*}$ gelöst

danach brauchst du nur noch eine spezielle lösung deiner GesamtDGL ( $\begin{eqnarray*} y_{spez} \end{eqnarray*}$ ), die du über einen Ansatz oder wie auch immer findest; alle Lösungen bekommst du dann über $\begin{eqnarray*} y=y_{spez}+c*y_{hom} \end{eqnarray*}$

vergleiche das ganze mit einem LGS und zugehörigem homogenen LGS, "ganz prinzipiell" ist das ähnlich

31.01.2006, 10:01

Gast2

Auf diesen Beitrag antworten »

aber was ist daran nun die allgemeine und was die spezielle Lösung der inhomogenen oder muss ich noch was ausrechnen?
Im übrigens hast du nen kleinen Fehler in deiner Formel. Vor das Integral muss noch ein Minus. Das Problem mit der hochgestellten 4 hatte ich mit Linux auch Augenzwinkern

31.01.2006, 10:11

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gast2
aber was ist daran nun die allgemeine und was die spezielle Lösung der inhomogenen oder muss ich noch was ausrechnen?
Im übrigens hast du nen kleinen Fehler in deiner Formel. Vor das Integral muss noch ein Minus.

wo genau soll da ein minus fehlen? vor dem integral?

Zitat:

sie wird von $\begin{eqnarray*} y_{hom}=e^{\int~f(x)~dx} \end{eqnarray*}$ gelöst

da ein - vor das integral? nein, wieso?

Zitat:

aber was ist daran nun die allgemeine und was die spezielle Lösung der inhomogenen oder muss ich noch was ausrechnen?

insgesamt: EINE spezielle Lösung ist z.b. die Lösung y_(spez)
allgemeine Lösung bei solchen DGLn ist "spezielle Lösung + beliebiges Vielfaches der homogenen Lösung" (mit parameter, wählbar)

31.01.2006, 10:14

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du wirklich den Beitrag von LOED gelesen?
Die spezielle Lösung der inhomogenen DGL ist irgendeine Lösung der inhomogenen DGL.
Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist die Summe aus einer speziellen Lösung und der allgemeinen Lösung der homogenen DGL. Also:
$\begin{eqnarray*} y_{allgemein} = y_{spez}+c \cdot y_{hom} \end{eqnarray*}$

EDIT: LOED war wieder schneller. traurig

31.01.2006, 10:19

Gast2

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab den Beitrag von Loed gelesen, ja. aber erst mit deiner Formel hab ichs verstanden. Ich wollte ja nur wissen, was bei meiner Rechnung die allgemeine, und was die spezielle Lösung ist. Thx.

@ Loed
Genau da vor dem Integralzeichen gehört ein Minus hin, ja. Zumindest steht es so in meinem Script und allen Büchern die ich hab

31.01.2006, 10:36

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gast2
Genau da vor dem Integralzeichen gehört ein Minus hin, ja. Zumindest steht es so in meinem Script und allen Büchern die ich hab

Kommt auf die DGL an. Hast du
y' = f(x) * y
oder
y' + f(x) * y = 0 ?

31.01.2006, 10:45

Gast2

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, hab ganz übersehen, dass Loed die DGL ja umgestellt hat. Sorry.

Neue Frage »

Antworten »

Unterschied zw. spez. und allg. Lösung der inhomogenen DGL

Verwandte Themen