Fragen zu Differnzierbarkeit+Integrationsgrenzen

23.05.2008, 23:03

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Fragen zu Differnzierbarkeit+Integrationsgrenzen

Guten Abend, ich habe 2 Fragen

1) Ich habe eine Funktion die ich disskutieren soll, und feststellen solle ob sie einen knick hat

Disskutiert habe ich die Funtkion schonmal

$\begin{eqnarray*} f(x)=x+|ln(1-x)| \end{eqnarray*}$

So ich dachte mir nun: Beweise dass die Funktion nicht differnzierbar ist und sie hat einen Knick!
Dazu habe ich eine Fallunterscheidung gemacht und die Funktion in 2 Teile zerlegt, zum einen x<0 und zum anderen x>0...
Diese beiden getrennten Funktionen habe ich nun abgeleitet und komme auf folgende 2 Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{-x}{1-x} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{x-2}{x+1} \end{eqnarray*}$

Nun setze ich bei g(x) und h(x) den limes x=>0 an und komme auf die beiden ergebnisse

0 und 2

Kann mir nun jemand sagen was das bedeutet ist die funktion differnzierbar oder nicht?

Denn in meinem Heft stand nur ein Beispiel in dem zum Ende nach Anwendung des Limes -1 und 1 rauskam. Und da das verschiedene Vorzeichen sind, war die Fkt. nicht differnzierbar. Was heißt es aber nun wenn nicht der gelcihe Betrag nach dem Limes rauskommt, sondern ein unterschiedlicher wert wie 2 udn 3 oder oben 0 und 2
Und wie ist es mit dem Vorzeichen der Zahl 0, da sie je beide trägt?

2) Auf meinem Arbeitsblatt steht eine Funktion zu der ich die Stammfunktion bilden soll und die Obergrenze des Integrals x und die Untergrenze e(=eulerische Zahl) beträgt.
Nun soll ich von dieser Integralfunktion so Dinge wie Nullstellen, Monotonieverhalten, Abzissen der Flachpunkte und die Definitionsmenge herausfinden.
All dies stellt mich vor kein Problem, sprich ich finde die Stammfunktion, kann damit alles ausrechnen, aber weiß nicht was mir diese Ober und Untergrenze sagen soll, zumal da im 2. Teil der Aufgabe die untere Integrationsgrenze in 1/e verändert wird, und die frage gestellt wird, was sich dadurch verändert.
(sollte das so zu theoretisch sein, werde ich gerne die funktion etc einstellen)

Vielen Dank schonmal für alle Antworten

24.05.2008, 02:16

Bjoern1982

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Zitat:

Kann mir nun jemand sagen was das bedeutet ist die funktion differnzierbar oder nicht?

Da unterschiedliche Steigungswerte bei links und rechtsseitiger Annäherung an die "kritische" Stelle auftauchen ist demnach kein tangentialer Übergang der beiden Teilkurven links und rechts von x=0 möglich, wodurch ein Knick entsteht.
Bei der null....naja dazu sag ich mal nichts ; ) sollte eigentlich klar sein

Zu 2)

Joa also da solltest du schon konkreter werden....raten ist zwar ab und zu ganz lustig - im Moment ist mir aber nicht so danach...evtl äußert sich jemand anders noch dazu, ansonsten stelle aber lieber die Funktion mal vor...ich verstehe auch gar nicht welchen Grund es gibt sie nicht direkt hinzuschreiben verwirrt

Gruß Björn

24.05.2008, 02:31

mYthos

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Dem Graphen kannst du schon einiges entnehmen ...

Bei dir stimmt h(x) nicht, im Nenner kann nicht plötzlich (1+x) stehen. Und bei der Fallunterscheidung musst du im zweiten Fall $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ setzen!

Die Differenzierbarkeit (an einer Stelle) ist nicht gegeben, wenn der Grenzwert der Ableitungsfunktionen an dieser (kritischen) Stelle (hier x = 0) verschiedene Werte liefert.

---------

Das Andere (2) ist sehr diffus. Da musst du konkreter werden, also verrate doch die ganze Angabe im Originalwortlaut.

mY+

24.05.2008, 12:35

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Also erstmal vielen dank
Nun das stimmt ich habe h(x) falsch abgeschrieben und habe es nun nochmal nachgerechnet nun kommt folgendes raus!

$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{2-x}{1-x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig sehe setze ich aber jetzt dennoch den Limes x=> 0 an und komme somt auf 2

Also habe ich noch immer nach dem Limes der Ableitung auf 0 und 2...Ist dies soweit richtig?
Also ist es nicht differnzerbar?!

Ergo kann ich sagen es muss der gleiche Zahlenwert und das gleiche Vorzeichen nach dem Limes stehen, damit die Fkt differenzierbar ist?

@mythos: Kannst du mir mal bitte sagen was du in den Plotter eingegeben hast? weil ich wollte auch den Graph einstellen aber bei mir kam jedesmal ein error :-(

So nun zur nächsten aufgabe dann stell ich die mal ein:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{x \ln x} \end{eqnarray*}$

a) Disskutiere F mit $\begin{eqnarray*} F(x) = \int_{e}^{x}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$
(Max. Def.menge, NST, Monotonie, Abzisse der Flachpunkte)

b) Bearbeite a), nur verwende für die untergrenze 1/e

c) Zeige F(x) = ln|ln x| +c und berechne damit die Ordinaten der in a) und b) gesuchten Punkte.
Zeichne die Graphen.

Mein Problem ist ansich dieses Spiel mit den Ober und Untergrenzen...wie man NST etc ausrechnet weiß ich!

Danke schonmal

25.05.2008, 17:54

mYthos

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h(x) stimmt nunmehr.

Es ist richtig, dass die beiden Grenzwerte verschieden sind (0 und 2), daher gibt es an der Stelle x = 0 einen Knick, keine Tangente und die Funktion ist daher dort nicht differenzierbar.

In den Plotter musst du log für/statt ln eingeben ...

code:
1:	[plot=-5:5,-5:5]x+log(1-x),x-log(1-x)[/plot]

Zur 2. Aufgabe:

Du musst in die Stammfunktion doch nur für die obere Grenze x und die untere Grenze e bzw. 1/e einsetzen. Da die obere Grenze variabel ist, bleibt eine (zumeist veränderte) Integralfunktion (Flächenfunktion) stehen, also z.B. in a)

$\begin{eqnarray*} F_1(x) = \ln |\ln x| - \ln 1 = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

25.05.2008, 18:32

Done

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Ah ok vielen dank, hast mir sehr geholfen Freude

Eine frage noch um das zusammenzufassen:
Eine Fkt. ist nur dann differnzierbar, wenn bei den Grenzwerten bei der 1. Ableitung die gleiche Zahl mit dem gleichen Vorzeichen rauskommt. Sonst ist die nicht differnzierbar. Soweit richtig?

Und nun soll ich noch den Knickwinkel berechnenda lege ich dann 2 tangenten an den kritischen Punkt und berechne derren Schnittwinkel oder?

25.05.2008, 18:58

mYthos

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Die Differenzierbarkeit wird immer an einer Stelle bzw. in einem Intervall untersucht. Die links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte der Ableitungsfunktion an dieser Stelle müssen gleich sein, darauf kommt es an, dass sie dann auch im Vorzeichen übereinstimmen, ist dann doch klar.

Für den Knickwinkel sind die beiden Steigungen der links- bzw. rechtsseitigen Tangente relevant (das sind die bereits ermittelten links- bzw. rechtsseitigen Ableitungen an der Stelle 0).

mY+

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