Potenzreihenentwicklung

30.01.2006, 22:59

el_studente

Potenzreihenentwicklung

N'abend!

Habe ein paar Fragen zu folgenderAufgabe:

Man bestimme in der Potenzreihenentwicklung $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=0}^ \infty~a_kx^k \end{eqnarray*}$ für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{\sqrt[3]{1+x^3}} \end{eqnarray*}$ die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\leq4 \end{eqnarray*}$ .

Es gilt: $\begin{eqnarray*} e^x=\sum_{k=0}^ \infty~\frac{1}{k!}x^k \end{eqnarray*}$

Frage 1: Gilt dann auch: $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt[3]{1+x^3}}=\sum_{k=0}^ \infty~\frac{1}{k!}(1+x^3)^\frac{k}{3} \end{eqnarray*}$ ??

Hab's mal probiert und es scheint zu funktionieren.

Frage 2: Wenn das wirklich so geht: Was/wo sind dann meine $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ 's??

30.01.2006, 23:30

therisen

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Hallo,

es gilt ja (manchmal sogar als Definition!) $\begin{eqnarray*} \exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} \end{eqnarray*}$ . Also auch $\begin{eqnarray*} \exp(\sqrt[3]{1+x^3}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {\left(\sqrt[3]{1+x^3}\right)^n \over n!} \end{eqnarray*}$ .

Welche Werte darf x annehmen?

Gruß, therisen

30.01.2006, 23:40

el_studente

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Danke für die fixe Antwort!

$\begin{eqnarray*} x\geq-1 \end{eqnarray*}$ damit die Wurzel nicht negativ wird.

Also Frage 1 = ja.
Und wie sieht es mit Frage 2 aus?

31.01.2006, 01:44

Mathespezialschüler

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Verschoben

Naja, du müsstest das jetzt als Potenzreihe schreiben. So ist es ja eine Reihe, in der noch eine dritte Wurzel auftaucht. Hier wäre es vielleicht am einfachsten, die ersten vier Ableitungen zu berechnen, auch wenn das ein wenig Rechenaufwand mit sich bringt.

Gruß MSS

31.01.2006, 09:33

Leopold

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Am schnellsten geht es mit Potenzreihenrechnung:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^t = \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{t^n}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{1+x^3} = \left( 1 + x^3 \right)^{\frac{1}{3}} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}~{{\frac{1}{3}} \choose k} x^{3k} \end{eqnarray*}$

Und jetzt $\begin{eqnarray*} t = \sqrt[3]{1+x^3} \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{\sqrt[3]{1+x^3}} = \operatorname{e}^{1 + \sum_{k=1}^{\infty}~{{\frac{1}{3}} \choose k} x^{3k}} = \operatorname{e} \cdot \operatorname{e}^{\sum_{k=1}^{\infty}~{{\frac{1}{3}} \choose k} x^{3k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \operatorname{e} \cdot \left( 1 + \left( \sum_{k=1}^{\infty}~{{\frac{1}{3}} \choose k} x^{3k} \right) + \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{\infty}~{{\frac{1}{3}} \choose k} x^{3k} \right)^2 + \ldots \right) \end{eqnarray*}$

Schon das Quadrat der Potenzreihe innen beginnt mit der Potenz $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ , höhere Potenzen der Potenzreihe beginnen mit noch höheren Potenzen, so daß nur die erste Potenz der Potenzreihe relevant wird:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{\sqrt[3]{1+x^3}} = \operatorname{e} \cdot \left( 1 + \frac{1}{3} x^3 + \ldots \right) = \operatorname{e} + \frac{1}{3} \operatorname{e} \, x^3 + \ldots \end{eqnarray*}$

31.01.2006, 15:30

therisen

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{1+x^3} = \left( 1 + x^3 \right)^{\frac{1}{3}} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}~{{\frac{1}{3}} \choose k} x^{3k} \end{eqnarray*}$

Hallo Leopold,

daran habe ich auch gedacht (daher die Frage, welche Werte x annehmen darf). Denn es gilt doch $\begin{eqnarray*} (1+z)^s=B_s(z):=\sum_{n=0}^\infty {s \choose n}z^n \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ divergiert ja $\begin{eqnarray*} B_s(z) \end{eqnarray*}$ und dann ergibt deine Umformung doch keinen Sinn mehr, oder?

Gruß, therisen

31.01.2006, 15:59

quarague

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die Rechnung funktioniert so nur für |z| < 1 aber wenn man eine Reihenentwicklung hat, ist diese auch eindeutig. Es ist ein bisschen wischi-waschi aber die Ergebnisse die Leopold ausgerechnet gelten glaube ich für x beliebig in IC (wobei du da mit der Eindeutigkeit der Wurzel Probleme bekommst, aber für x reelle mit x > -1 sollte alles glatt gehen)

31.01.2006, 20:39

Leopold

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Es sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ das Gebiet der längs der drei Halbgeraden $\begin{eqnarray*} z = t \operatorname{e}^{(2k + 1) \frac{\operatorname{i} \pi}{3}}; \, t \geq 1; \, k=0,1,2 \end{eqnarray*}$ aufgeschlitzten komplexen Ebene. Dann ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(z) = \operatorname{e}^{\sqrt[3]{1 + z^3}} \end{eqnarray*}$

holomorph in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , wobei für die dritte Wurzel der Hauptwert zu nehmen ist. Nach einem Satz der komplexen Analysis läßt sich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ daher durch eine Potenzreihe um $\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$ darstellen (das ist die in meinem ersten Beitrag berechnete), die mindestens in der größten offenen Kreisscheibe um $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , die noch zu $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ gehört, konvergiert. Der Konvergenzradius ist daher mindestens $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Betrachtet man nun ein $\begin{eqnarray*} a < -1 \end{eqnarray*}$ , so gilt:

$\begin{eqnarray*} f(z) \to \operatorname{e}^{\sqrt[3]{-1 - a^3} \ \operatorname{e}^{\frac{\operatorname{i} \pi}{3}}} \ \ \mbox{für} \ z \to a, \ \Im(z)>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z) \to \operatorname{e}^{\sqrt[3]{-1 - a^3} \ \operatorname{e}^{- \frac{\operatorname{i} \pi}{3}}} \ \ \mbox{für} \ z \to a, \ \Im(z)<0 \end{eqnarray*}$

wobei hier im Exponenten die gewöhnliche reelle dritte Wurzel gemeint ist. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist daher in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht stetig ergänzbar und somit erst recht nicht holomorph. Da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ beliebig nahe an $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ gewählt werden kann, kann der Konvergenzradius nicht größer als 1 sein.

Folglich ist der Konvergenzradius genau $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Und durch Beschränkung auf reelle Werte gilt das natürlich auch für die reelle Potenzreihe. Diese hat somit den Konvergenzradius 1.

31.01.2006, 20:54

el_studente

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Also würde die Sache auch für x < -1 funktionieren?

31.01.2006, 21:42

Leopold

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Nein. Sie funktioniert reell nur für $\begin{eqnarray*} -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$ .

31.01.2006, 22:20

el_studente

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Schade eigentlich!
Dann werde ich mich wohl doch bis zur vierten Ableitung durchkämpfen müssen (wie Mathespezialschüler sagte) und dann mit Taylor die Reihe entwickeln.
Habe die Ableitungen zwar schon vom PC bestimmen lassen (sind wirklich heftig), aber das wird mein Tutor wahrscheinlich nich akzeptieren.

Da kommt dann übrigens auch $\begin{eqnarray*} e+\frac{e}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ raus.

31.01.2006, 22:59

koRn

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Zitat:

Original von el_studente
Schade eigentlich!
Dann werde ich mich wohl doch bis zur vierten Ableitung durchkämpfen müssen (wie Mathespezialschüler sagte) und dann mit Taylor die Reihe entwickeln.
Habe die Ableitungen zwar schon vom PC bestimmen lassen (sind wirklich heftig), aber das wird mein Tutor wahrscheinlich nich akzeptieren.

Da kommt dann übrigens auch $\begin{eqnarray*} e+\frac{e}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ raus.

Ich versteh jetzt nicht ganz deinen Beweggrund alle vier Ableitungen durchzurechnen. Leopold hat den eleganten Weg genommen , um mit Hilfe bekannter Taylorreihen, deine Taylorreihe anzugeben. Da wird dein Tutor sicherlich nix gegen haben.

31.01.2006, 23:05

Leopold

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@ el_studente

Falls du aber das Potenzreihenrechnen nicht kennst, bleibt dir wohl nur der Weg über die Ableitungen. Was dann aber diese Aufgabe soll, weiß ich nicht. Das ist ja dann nur eine einzige Schinderei ohne Zweck.

Was aber dein "Schade eigentlich" bedeuten soll, erschließt sich mir nicht. Den Zusammenhang mit der Bestimmung des Konvergenzradius kann ich da nicht sehen.

31.01.2006, 23:07

el_studente

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Ja, bin die Berechnung von Leopold nochmal durch und kann mir auch nicht erklären warum das nur für $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ funktionieren soll.

Edit: jetzt hab ich glaub ich den Faden verloren
Mach das jetzt so, wie Leopold das beschrieben hat und Schluß

31.01.2006, 23:16

Leopold

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Die Potenzreihe für $\begin{eqnarray*} \left( 1 + x^3 \right)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ hat den Konvergenzradius 1. Das ist aus Zusammenhängen mit der binomischen Reihe bekannt und kann mit gängigen Konvergenzkriterien hergeleitet werden. Es ist daher "vernünftig" anzunehmen, daß auch nach dem Einsetzen in die e-Funktion der Konvergenzradius 1 erhalten bleibt. Ein einfaches Argument dafür, das ohne den Weg über das Komplexe auskommt, fällt mir aber nicht ein. Man hat schließlich keine explizite Formel für die Koeffizienten, auf die man die Hadamardsche Formel oder Ähnliches anwenden kann. Prinzipiell kann man übrigens nicht ausschließen, daß sich der Konvergenzradius beim Verketten vergrößert, da störende Effekte sich gegenseitig auslöschen können.

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