Wurzel(xy) stetig??

31.01.2006, 01:28	G@ST	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel(xy) stetig?? hi ist zwar schon nacht, aber ne frage hätt ich doch noch. wie kann man die stetigkeit von $\begin{eqnarray} f(x,y):=\sqrt{xy} \end{eqnarray}$ zeigen? ich nehm mal so ganz stark an dass die stetig ist in allen punkte, aber so richtig begründen kann ich nicht so me please
31.01.2006, 01:38	G@ST	Auf diesen Beitrag antworten »
erster schritt: $\begin{eqnarray} (x_0,y_0)=(0,0) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x_0y_0}-\sqrt{xy}\|=\|\sqrt{xy}\|<\sqrt\delta \end{eqnarray}$ Sei Epsilon>0. Wähle $\begin{eqnarray} \delta := \epsilon^2 \end{eqnarray}$ Dann gilt für alle x aus R mit $\begin{eqnarray} \|x\|<\delta: \|\sqrt{0}-\sqrt{xy}\|<\sqrt{\delta}= \epsilon \end{eqnarray}$ ist das so richtig für den anfang? wie mach ich das aber für alle punkte nicht gleich Null?
31.01.2006, 01:47	G@ST	Auf diesen Beitrag antworten »
hier idee für den rest: Sei $\begin{eqnarray} x_0,y_0 > 0: \|\sqrt{x_0y_0}-\sqrt{xy}\|=\frac{\|x_0y_0-xy\|}{\sqrt{x_0y_0}+\sqrt{xy}} \leq \frac{\|x_0y_0-xy\|}{\sqrt{x_0y_0}} < \frac{\delta}{\sqrt{x_0y_0}}=\epsilon \end{eqnarray}$ Sei nun Epsilon>0. Wähle $\begin{eqnarray} \delta:=\epsilon\sqrt{x_0y_0}>0 \end{eqnarray}$ Dann gilt für alle x aus R, mit $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<\delta \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x_0y_0}-\sqrt{xy}\|<\epsilon \end{eqnarray}$ s.o. so hab ich mir nun gedacht, kann mir jemand sagen, ob das fehlerhaft ist?
31.01.2006, 02:59	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Da du die Stetigkeit in beiden Variablen, $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , gleichzeitig beweisen willst, ist es nicht korrekt. Für die Stetigkeit von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ müsstest du nämlich folgendes zeigen: $\begin{eqnarray} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ \delta>0\ :\ \|x-x_0\|<\delta \wedge \|y-y_0\|<\delta\Rightarrow \|f(x,y)-f(x_0,y_0)\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ . Im Übrigen würde ich eher das Folgenkriterium für Stetigkeit heranziehen. Gruß MSS
31.01.2006, 15:09	Marcyman	Auf diesen Beitrag antworten »
Lässt sich auch als Produkt stetiger Funktionen darstellen, $\begin{eqnarray} f(x,y)=\sqrt{(g_{1}(x,y))} \sqrt{(g_{2}(x,y))} \end{eqnarray}$ mit g_1(x,y)=x, g_2(x,y)=y

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