Äquivalenz zeigen

31.01.2006, 11:25	Bill	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz zeigen Hi, ich stoße schon seit Tagen immer wieder auf diese Aufgabe und mir fällt kein passender Ansatz ein: $\begin{eqnarray} U_1, U_2 \end{eqnarray}$ seien Unterräume von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray} V \to W \end{eqnarray}$ . Verifizieren Sie die Äquivalenz: $\begin{eqnarray} \varphi(U_1 \cap U_2) = \varphi(U_1) \cap \varphi(U_2) \Leftrightarrow (U_1 \cap U_2) + Kern\varphi = (U_1 + Kern\varphi) \cap (U_2 + Kern\varphi) \end{eqnarray}$ Muß $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ dann injektiv sein? Also wenn jemand einen Denkanstoß für mich hätte wäre ich dankbar.
31.01.2006, 12:17	Anil	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei x in U^V (soll der Schnitt sein), dann ist x in U und in V, dann Def. einer lin. Abb. und des Kern... Hilfts das?
31.01.2006, 19:03	Bill	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm ... ehrlich gesagt nein
01.02.2006, 17:29	Bill	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand weiterhelfen (oder ist das ganz gar trivial?) Bill
02.02.2006, 15:26	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ein bischen tricky ist das schon. Wie man eine Äquivalenaussage generell beweißt ist dir bekannt? Das ist nämlich öfter das Hauptproblem.
04.02.2006, 15:05	Bill	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Äquivalenz muß man beide Inklusionsrichtungen zeigen - meinst du das? Also meine Beweisidee wäre folgende: (i) Ich zeige, daß die linke Gleichung äquivalent ist zu $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ injektiv (denn sonst gälte nicht Gleichheit sondern Teilmenge) (ii) $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ injektiv ist wiederrum äquivalent zu $\begin{eqnarray} dim Kern \varphi = 0 \end{eqnarray}$ (iii) Genau dann wenn $\begin{eqnarray} dim Kern \varphi = 0 \end{eqnarray}$ gilt in der rechten Gleichung die Gleichheit (statt Teilmenge) Dabei könnte ich mir auch die Rückrichtung sparen, weil ja alles per Äquivalenz gezeigt wurde. Geht das so oder bin ich auf dem Holzweg?
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04.02.2006, 19:52	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das meinte ich. Meiner Meinung nach muss phi nicht injektiv sein damit die Äquivalenz gilt, zumindest bin ich nicht in der Lage das zu zeigen. Aber ich lass mich gern eines Besseren belehren =) Hier ist erstmal mein Beweis der einen Inklusion. i. $\begin{eqnarray} x \in \varphi(U_1 \cap U_2) \Leftrightarrow \exists u \in (U_1 \cap U_2): \varphi(u)=x \Leftrightarrow (u \in U_1) \wedge (u \in U_2) \\ \Leftrightarrow (\varphi(u) \in \varphi(U_1)) \wedge (\varphi(u) \in \varphi(U_2)) \Leftrightarrow \varphi(u) \in (\varphi(U_1) \cap \varphi(U_2)) \end{eqnarray}$ Das heißt $\begin{eqnarray} \varphi(U_1 \cap U2) \subseteq \varphi(U_1) \cap \varphi(U_2) \end{eqnarray}$ ii. $\begin{eqnarray} x \in \varphi(U_1) \cap \varphi(U_2) \Leftrightarrow (x \in \varphi(U_1)) \wedge (x \in \varphi(U_2)) \Rightarrow (\exists u \in U_1 : \varphi(u)=x) \wedge (\exists u' \in U_2 : \varphi(u') = x) \end{eqnarray}$ Nun folgt $\begin{eqnarray} \varphi(u)=\varphi(u') \Leftrightarrow \varphi(u)-\varphi(u')=0 \Leftrightarrow \varphi(u-u')=0 \Leftrightarrow u-u' \in ker(\varphi)\\ \Leftrightarrow u+ker(\varphi)=u'+ker(\varphi) \end{eqnarray}$ folglich gilt $\begin{eqnarray} u,u' \in (U_1 + ker(\varphi)) \cap (U_2 + ker(\varphi)) \end{eqnarray}$ mit der Voraussetzung folgt $\begin{eqnarray} u,u' \in (U_1 \cap U_2) + ker(\varphi) \Leftrightarrow u,u' \in U_1 \cap U_2 \Leftrightarrow x \in \varphi(U_1 \cap U_2) \end{eqnarray}$ Insgesamt gilt also $\begin{eqnarray} \varphi(U_1 \cap U_2) = \varphi(U_1) \cap \varphi(U_2) \end{eqnarray}$ Ich hoffe du kannst meinen null kommentierten Ausführungen folgen *g
14.02.2006, 13:32	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, will nur mal das Thema pushen weil es mich interessiert. Könnte phi tatsächlich injektiv sein?

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